Menge N auf M abbilden, surjektiv aber nicht injektiv

Aufrufe: 887     Aktiv: 02.07.2020 um 23:19

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Hi zusammen, ich habe ein Problem zu folgender Aufgabe:

Man soll eine Abbildung angeben von N --> M, welche surjektiv ist jedoch nicht injektiv (Vorschrift herausfinden).

Surjektiv heisst ja, dass die gesamte Menge M abgebildet werden muss. Um die Injektivität auszuschalten brauche ich mindestens 1x zwei verschiedene Elemente aus N, welche auf ein gleiches Element aus M zeigen. Also ist z.B. die Funktion f(x)=0.25x^3+x^2 surjektiv aber nicht injektiv, Wenn R auf R abgebildet wird (R=Reelle Zahlen).

Stimmt das?

Ich habe keine Ahnung, wie ich bei diesem Beispiel vorgehen muss/soll. Kann mir jemand helfen, um auf eine entsprechende Vorschrift zu kommen? 

 

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Student, Punkte: 93

 
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Deine Gedanken treffen zu. Du kannst die Abbildung ja auch abschnittsweise definieren - beispielsweise die \(1\) und die \(2\) auf \(1\) abbilden (dann ist sie sicherlich nicht mehr injektiv) und dann kannst du dir sicherlich leicht überlegen, wie du die \(3,4,\ldots\) abbilden musst (Vorschrift), so dass die Abbildung dennoch surjektiv ist.

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Vielen Dank für deine Antwort.
Habe ich das richtig verstanden, dass man in diesem Fall 3 Vorschriften angeben kann,
z.B. : 1 --> 1/(2n-1) = 1 , für n ist Element von N mit n=1
und; 2 --> 1/(2n-3) = 1 , für n ist Element von N mit n=2
und; (Rest der Menge) z.B. 3 --> 1/(n-1) = 1/2 , für n ist Element von N mit n>2
  ─   aequus formidus 02.07.2020 um 21:40

Dein Gedanke ist völlig richtig. Etwas eleganter aufgeschrieben: \( N \to M, n \to \begin{cases} 1 & n=1 \\ \frac{1}{n-1} & sonst \end{cases} \).   ─   42 02.07.2020 um 22:32

Um ganz genau zu sein, wäre die Abbildung wohl \(\begin{align}f: N \rightarrow M, f(n)= \begin{cases}1&n\in\{1,2\}\\\frac{1}{n-1}&\text{sonst}\end{cases}\end{align}\)   ─   mathe.study 02.07.2020 um 22:44

Das ist nur eine andere Art, die Funktion aufzuschreiben. Ist beides korrekt.   ─   42 02.07.2020 um 23:03

Stimmt - was die Fallunterscheidung betrifft hast du Recht - es ist in meiner Variante allerdings auf den ersten Blick ersichtlicher, dass sie nicht surjektiv ist. Aber grundsätzlich ist das die gleiche Abbildung. Bezüglich deiner Notation habe ich eine kleine Anmerkung: Der Zuordnungspfeil der Vorschrift wird in der Regel mit einem kleinen senkrechten Strichelchen geschrieben - also \(n\mapsto\ldots\) statt \(n\rightarrow\ldots\)   ─   mathe.study 02.07.2020 um 23:19

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