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Hallo,
setzen wir mal lieber bei der allgemeinen Form einer gebrochenrationalen Funktion an:
$$ f(x) = a \cdot \frac {g(x)} {h(x)} $$
Die Nennerfunktion hast du ja schon wunderbar durch die Polstellen aufgestellt
$$ h(x) = (x-2)(x+2) = x^2 - 4 $$
Die Zählerfunktion hast du ebenfalls über die Nullstellen bestimmt, dir ist nur beim ausklammern ein Fehler unterlaufen.
$$ g(x) = (x-2)^3 = (x^2 - 4x + 4)(x-2) = x^3 -6x^2 + 12x - 8 $$
Damit haben wir die Funktion
$$ f(x) = a \frac {(x^2-4x+4)(x-2)} {(x+2)(x-2)} $$
Nun haben wir noch eine Information, mit der wir \( a \) bestimmen können. Diese Information bezieht sich auf die Asymptote.
Die Asymptote können wir mit Hilfe der Polynomdivision bestimmen (deshalb habe ich die beiden Funktionen auch nicht ausgeschrieben)
$$ a(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) \div (x^2 -4) = a(x^2 - 4x + 4) \div (x+2) = a \cdot ? \overset{!}{=} x + 6 + \frac {r(x)} {x^2 -4} $$
Mit Hilfe eines Koeffizientevergleich kannst du jetzt \( a \) bestimmen.
Grüße Christian
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ja das stimmt. Aber anders kann man hier, meiner Meinung nach, keine Funktion konstruieren. Oder was meinst du?
Aber ist sehr wichtig zu erwähnen. ─ christian_strack 11.09.2020 um 14:35
─ schroedem3 11.09.2020 um 14:37
Du hast hier ganz intuitiv einen Koeffizientenvergleich durchgeführt.
$$ a(x^2 - 4x +4) \div (x+2) = a (x+6 + \frac {16} {x+2} ) \overset{!}{=} x+6 + \frac {r(x)} {x+2} $$
Da uns der Bruch nicht interessiert, vergleichen wir
$$ a(x+6) = x+6 $$
und das ergibt natürlich \( a=1 \).
Ich habe den Koeffizientenvergleich erwähnt, damit du weißt wie du vorgehen musst, wenn mal ein nicht so schönes Ergebnis rauskommt. ─ christian_strack 11.09.2020 um 14:38
Sollte dann aber in der Aufgabenstellung anders formuliert werden, denke ich. ─ andima 11.09.2020 um 14:41
Deshalb eine sehr wichtige Ergänzung von dir. :)
Die Aufgabenstellung ist leider nicht ganz korrekt gestellt. ─ christian_strack 11.09.2020 um 14:43