Beschränkt, Ober unter Schranke

Aufrufe: 368     Aktiv: 19.03.2022 um 22:45

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habe ich das Beispiel richtig gelöst ?

EDIT vom 19.03.2022 um 21:21:


passt das jetzt so weiß nur leider nicht ganz wie du es meinst dass ich es mit dem infinum besweisen soll

EDIT vom 19.03.2022 um 21:56:

so?

EDIT vom 19.03.2022 um 22:34:

so habe das jetzt so?

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Dein Supremum ist falsch. Einen Hinweis dazu, welchen Grenzwert hat denn die Folge? Und noch eine Bemerkung zu deiner w.A.-Notation ... eigentlich muss man immer mit einer wahren Aussage starten und dann von da aus das schlussfolgern wo man hin möchte. Denn man könnte ja auch aus was falschem etwas wahres folgern. Ich würde an deiner Stelle für das Infimum mal die Monotonie der Folge betrachten, dann kannst du begründen warum $\frac{1}{3}$ richtig ist.
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Der Grenzwert ist ein halbes   ─   sanraaaa 19.03.2022 um 19:53

Richtig und damit ist das dein …? Wie würdest du jetzt die Monotonie begründen?   ─   maqu 19.03.2022 um 19:54

Damit ist es mein infimum. Hmm gute Frage ich würde sagen die Funktion steigt   ─   sanraaaa 19.03.2022 um 19:59

Also ist monoton wachsend   ─   sanraaaa 19.03.2022 um 20:00

Nein, $\frac{1}{2}$ ist dein Supremum. Gerade wenn die Folge (wie du richtig annimmst) monoton steigend ist und $\frac{1}{2}$ dein Grenzwert, kann es kein Folgeglied geben das größer ist. Ok bzgl. der Monotonie, was muss denn für die Folgeglieder von Monoton steigenden Folgen gelten?   ─   maqu 19.03.2022 um 20:04

Wenn gilt an+1≥an dann ist die Monotonie steigend   ─   sanraaaa 19.03.2022 um 20:09

Und die Menge ist beschränkt da jede konvergente Folge beschränkt ist oder?   ─   sanraaaa 19.03.2022 um 20:12

Also bedeutet es dass mein Infinum 1/3 ist oder?   ─   sanraaaa 19.03.2022 um 20:13

Ok richtig, genau in dem Fall ist dann $a_1=\frac{1}{3}$ das kleinste Glied der Folge und damit dein Infimum der Menge …. dann prüfe das doch mal mit der Monotonie …. Hinweis: für dich kannst du es mit der Art und Weise wie du es mit w.A. gemacht hast überprüfen. Aber aufschreiben tust du es dann umgekehrt. Also wenn du deine w.A. hast dann startest du von da und formst so um, dass du auf die Monotonieeigenschaft für deine Folge kommst, verstanden?   ─   maqu 19.03.2022 um 20:15

Die Menge selbst ist beschränkt weil du die entsprechenden Schranken gefunden hast.   ─   maqu 19.03.2022 um 20:17

Noch nicht ganz. Was stimmt ist das du mit w. A. startest beim aufschreiben … aber du möchtest ja auf $a_{n+1}> a_n$ kommen und nicht auf $a_n \geq \frac{1}{3}$. Du setzt mal deine Folge ein, so dass du (in deiner Nebenrechnung) \[a_{n+1}>a_n \;\Leftrightarrow\; \ldots \Leftrightarrow w.A.\]
auf deine wahre Aussage kommst. Für die Lösung deiner Aufgabe schreibst du es dann nur anders herum auf.
  ─   maqu 19.03.2022 um 21:38

Passt das so?   ─   sanraaaa 19.03.2022 um 21:56

Fast, du musst mit $\dfrac{n+1}{2n+3}\geq \ldots$ für $a_{n+1}$ starten und nicht mit $\dfrac{n+1}{3}$. Aber das Prinzip stimmt.   ─   maqu 19.03.2022 um 22:06

Muss ich nicht mit n+1/(2(n+1)+3 starten weil ich muss ja +1 dazurechnen wo überall ein n ist   ─   sanraaaa 19.03.2022 um 22:14

Genau, aber mit $\dfrac{n+1}{2(n+1)+1}=\dfrac{n+1}{2n+3}$ und nicht mit $\dfrac{n+1}{3}$ wie in deinem Edit oben … du hast also einfach 2n im Nenner vergessen dazu zu addieren   ─   maqu 19.03.2022 um 22:21

In deinem letzten Edit ist es fast perfekt. Zunächst hast „$\geq$“ als Relation verwendet. Schreibe „$>$“. Und den Schritt mit $:n$ brauchst du garnicht machen. Falsch ist das nicht, aber halt nicht nötig. Es kürzt sich alles weg und dann bleibt $1>0$ als wahre Aussage stehen.

Letzter Akt ist es dann noch das nun genau andersherum aufzuschreiben. Also von deiner wahren Aussage $1>0$ bzw. $\dfrac{1}{n}>0$ kommst du dann auf $a_{n+1}>a_n$.
  ─   maqu 19.03.2022 um 22:45

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