Rotationskörper?

Aufrufe: 131     Aktiv: 15.12.2022 um 20:18

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Guten Tag ,

Ich hatte eine drei Aufgaben , bei denen man die Gefärbte Fläche ausrechnen soll , die um die X - Achse rotiert. Hierbei war die Fläche zwischen 2 Graphen begrenzt: 
1. Aufgabe : f(x)=2 , g(x)= wurzel 2 , im Bereich von 0 bis 4
2. Aufgabe : f(x)=x² , g(x)= x³ , im Bereich von 0 bis 1 
Die dritte und letzte Aufgabe : f(x)=1 , g(x)=-x²+2 , im Bereich von -1 bis 1.

Meine Frage : Bei den ersten beiden Aufgaben,  musste ich um auf das richtige Ergebnis zu kommen 2 integrale aufstellen ( und diese dann voneinander abziehen) und NICHT die Differenzenfunktion ( laut der Lösung ) , jedoch musste ich bei Aufgabe 3 die Differenzenfunktion bilden und davon dann den Rotationskörper berechnen...

Woher weiss ich denn , bei welcher Aufgabe zwei  integrale aufgestellt werden müssen , und bei welcher die Differenzenfunktion gebildet werden muss ?
gefragt

Schüler, Punkte: 10

 

Ich glaube kaum, dass dies Deine Aufgabe ist, denn im ersten Fall ist weder f noch g von x abhängig. Gib# den originalen Text bitte an.   ─   professorrs 12.12.2022 um 21:16

Wenn Rotationsvolumina berechnet werden sollen, die sich durch die Rotation einer von zwei Funktionen f und g begrenzten Fläche um die x-Achse ergeben, dann wird NIE die Differenzfunktion von f und g gebildet. Das ist IMMER falsch! Die Lösung, sprich das Volumen, ergibt sich IMMER durch die Subtraktion der Integrale über π f^2 und π g^2. (Vorausgesetzt, es gibt keine Schnittpunkte von f und g auf dem betrachteten Intervall und vorausgesetzt, dass f(x) >= g(x) auf dem betrachteten Intervall ist.)

@professors: Warum soll die erste Aufgabenstellung nicht stimmen? Da wird dann halt das Volumen eines Hohlzylinders berechnet ...
  ─   mathematinski 15.12.2022 um 20:18
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1 Antwort
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Sollst du FLÄCHEN ausrechnen oder Flächen rotieren lassen und davon das VOLUMEN ausrechnen? Geht in der Frage etwas durcheinander.

Für das Rotationsvolumen gilt tatsächlich immer, dass man die beiden Funktionen quadrieren muss und erst dann voneinander subtrahiert. Du solltest mal beide Methoden rechnen und sehen, dass es einen entscheidenden Unterschied gibt. (Formeln/Rechnungsweisen erst dann sich merken und benutzen, wenn man sie verstanden hat, dazu hilft auch die Herleitung über Zylinder)

Was in Aufgabe 3 tatsächlich anders gerechnet wurde und ob es dafür vll. eine Erklärung gibt, könnte man erst an den Originallösungen sehen.

Auf jeden Fall solltest du die Aufgabe 3 "herkömmlich" rechnen und die Ergebnisse vergleichen

 

Wenn es allerdings nur um FLÄCHEN geht (nicht um Volumina) sind beide Methoden denkbar: einzeln rechnen und die Ergebnisse voneinander abziehen oder gleich die Funktionen subtrahieren und danach aufleiten. Das würde die gewählte Methode bei 3) insofern erklären, als es nur hier einen Rechenvorteil gibt, weil man 2-1 rechnen kann, die anderen nicht (bei den anderen wäre es  trotzdem weniger Schreibaufwand).

 

 

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Vielen Dank !!!!   ─   user885769 13.12.2022 um 17:21

wenn es dir geholfen hat, mach doch bitte einen Haken an die Antwort   ─   honda 13.12.2022 um 20:52

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