Hallo

 

Ich habe folgendes Problem und stehe da ein wenig an. 

 

Sei G eine endliche Gruppe, die auf X agiert. Wir betrachten zuerst den Fall dass $X=G\setminus H$ wobei H eine Untergruppe von G ist. Dabei betrachten wir die natürliche Action $$G\times G\setminus H \rightarrow G\setminus H,\,\,(g,xH)\mapsto gxH$$. 

Wir führen zusätzlich folgende Menge ein $$E=\{(g,k)\in G\times G|k^{-1}gk\in H\}$$. Dann haben wir folgende zwei Funktionen $p_1,p_2:E\rightarrow G$ mit $p_1(g,k)=g$ und $p_2(g,k)=k$

Ich muss zeigen dass $p_2$ surjektiv ist und für $k\in G$ eine Bijektion zwischen $p_2^{-1}(k)$ und der Untergruppe $kHk^{-1}$ gibt.

 

Ich hätte das wie folgt gemacht:

(i)

Sei $k\in G$, wir bemerken dass $(1,k)\in E$ liegt, das heisst wir haben ein Element in E gefunden so dass $p_2(e,k)=k$. Das heisst wiederum das $p_2$ surjektiv ist.

 

(ii)

Wir müssen nun eine Bijektion $\phi:p_2^{-1}(k)\rightarrow kHk^{-1}$ finden. Hier weiss ich nicht wie ich das genau wählen soll, irgenwie muss ich ja die Surjektion nach von $p_2^{-1}(k)$ G verwenden und dann schauen dass ich eine Injektion nach $kHk^{-1}$ finde oder nicht?

 

Könnte mir hier jemand helfen?

Vielen Dank!