Hey Felix,

das \( N \), was du hier suchst, kommt aus der Definition des Grenzwertes durch die \( \epsilon \)-Umgebung. Die besagt, dass ein Grenzwert dadurch charakterisiert werden kann, dass es für jedes beliebige \( \epsilon > 0 \) einen Wert \( N \) gibt, so dass alle weiteren Folgenglieder ab diesem \( N \) in der entsprechenden \( \epsilon \)-Umgebung liegen.

Also wenn dein \( N \) in Abhängigkeit von \( \epsilon \) z.B. 100 ist, dann bedeutet dies, dass ab dem 101. Folgenglied alle weiteren Folgenglieder der Folge \( a_n \) in der entsprechenden \( \epsilon \)-Umgebung liegen.

So viel zur Theorie, kommen wir nun zu deiner konkreten Aufgabe. Du hast hier dein \( \epsilon \) gegeben, es beträgt \( \frac{1}{1000} \). Deinen Grenzwert hast du ja mit \( a = 2 \) bereits richtig bestimmt. Nun kannst du diesen Wert in die Gleichung einsetzen und bekommst:

\( |\frac{2n + 1}{n} - 2| < \frac{1}{1000} \)

Du sollst nun also wie oben beschrieben den Wert bestimmen, für den alle weiteren Folgenglieder maximal \( \frac{1}{1000} \)-stel von deinem Grenzwert entfernt sind. Dieser Wert entspricht dann deinem \( N \).

Ich hoffe, ich konnte dir die Aufgabe damit etwas verständlicher machen. Wenn nicht, dann frag gern nochmal nach.

VG
Stefan