Doppelintegral berechen einer mehrteiligen Funktion

Erste Frage Aufrufe: 80     Aktiv: 26.06.2022 um 16:19

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Aufgabe:

Es sei f : [0, 1] × [0, 1] → R definiert durch
f (x, y) :=y2*sin(2πx/y) falls 0≤x<y≤1 sonst 0
für x,y∈ [0, 1].
a) Zeigen Sie, dass f stetig ist.
b) Berechnen Sie das Doppelintegral
∫ ∫ f (x, y) dy dx mit den unteren Grenzen von 0 und den oberen Grenzen von 1


Problem/Ansatz:

Reicht es, wenn ich zeige, dass wenn (xn,yn) geht für n gegen inf. zu (y,y)?

und zu b) muss ich ja die Integrale einzeln ausrechnen, also ∫( ∫ f (x, y) dy) dx bzw ∫ (∫ f (x, y) dx)dy. Aber wie mache ich das?

 

Ich hätte jetzt F(y):= ∫ f (x, y) dx und dann eine Fallunterscheidung gemacht für x<y und x=y, aber für x<y erhalte ich keine Lösung für das Integral. Kann mir jemand helfen
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Zu a): nein, setze die allg. Def. für stetig in $(x_0,y_0)$ an.
Zu b): Es sind bestimmte Integrale zu berechnen, das geschieht von innen nach außen. Wg der Def. der Funktion teilt man das Integrationsintervall passend auf.
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