Problem Länge von Vektoren (Betrag), Abstandsaufgabe, Vektorgeometrie

Erste Frage Aufrufe: 86     Aktiv: 05.11.2022 um 16:58
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Hallo! Momentan behandeln wir das Thema Vektorgeometrie, genauer: Abstandsaufgaben. Bei einer gegebenen Aufgabe habe ich Schwierigkeiten:
Es geht darum, dass zwei gegebene Punkte A(1/2/3) und B(-2/-3/-4) auf einer Geraden g liegen und man begründen soll, ob es Punkte auf g gibt, die sowohl von A den Abstand 10 als auch von B den Abstand 5 haben.

Ein Ansatz wäre, die Abstandsformel zu benutzen, sprich den Betrag eines Vektors. Wahrscheinlich muss ich jeweils einzelnd errechnen, ob es einen Punkt gibt, der sowohl von A den besagten Abstand von 10 hat und von B den Abstand 5? Das Problem ist ja, dass ich einen unbekannten Punkt habe, bei dem keiner der Koordinaten x,y und z bekannt ist und ich so erstmal drei Unbekannte habe. In einem Video hat Daniel Jung schon erklärt, dass ich aus der Funktionsgleichung der Gerade g (die kann ich ja aus den Punkten A und B aufstellen) die Unbekannten konkreter bestimmen kann. 
Bisher lautet meine Rechung für Punkt A also: 100 = (3t)^2 + (-5t)^2 + (-7t)^2
Muss ich das Gleiche auch für Punkt B machen und wenn ja, wie gehe ich dabei vor?

Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen? Bin ich bisher richtig vorgegangen?
Danke für die Hilfe!!

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Das ist richtig und Du bist schon sehr weit. Achte aber auf den richtigen Richtungsvektor.
Du hast also schonmal eine Gleichung mit einer Unbekannten. Da freut man sich doch, warum nämlich?
Und wie kommt nun noch die zweite Bedingung ins Spiel? Die erste Bedingung hast Du doch verstanden, was ist bei der zweiten anders?
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Vielen Dank für die schnelle Antwort! Die Gleichung von oben sollte ich ja jetzt problemlos lösen können, wenn ich nur eine Unbekannte habe. Ich hatte überlegt, ob ich für die zweite Bedingung den Stützvektor ändern muss, also nicht mehr A, sondern stattdessen B einsetzen muss. Entsprechend sähe ja dahingehend die Gleichung anders aus, außerdem wird wahrscheinlich eine 25 anstelle der 100 dort stehen. Ich dachte, dass der Richtungsvektor gleich bleiben kann? Oder was genau ist gemeint mit „Achte auf den richtigen Richtungsvektor“? Vielen Dank nochmal!   ─   userf19875 05.11.2022 um 15:20
Du hast im Richtungsvektor vermutlich einen Vorzeichenfehler (der sich hier wg Quadrieren nicht auswirkt).
Für die zweite Gleichung gehst Du genauso vor wie bei der ersten, es ist ja dieselbe Gerade (also: allg. Punkt auf der Geraden minus B).
Wieso sollte da "wahrscheinlich" 25 statt 100 stehen? Wie wahrscheinlich ist es denn, dass bei der ersten Gleichung 100 steht?
   ─   mikn 05.11.2022 um 15:33
Danke, hab den Fehler gefunden! Vor dem „3t“ muss innerhalb der Klammer auch ein Minus stehen. Ich weiß jetzt, wie ich weiter vorgehen muss, danke!   ─   userf19875 05.11.2022 um 15:40
Du kannst so vorgehen, aber - nach nochmaligem Lesen der Aufgabe - ist das unnötig aufwendig. Es ist ja gar nicht nach dem oder den Punkt(en) gefragt, sondern nur, OB es welche gibt. Das klärt man am einfachsten, indem man eine Skizze macht (Gerade, zwei Punkte drauf usw) und sich dann überlegt, was man prüfen muss um die "ob"-Frage zu beantworten.   ─   mikn 05.11.2022 um 15:47
Ja, mit einer Zeichnung hatte ich es auch schon probiert, die Idee dann aber wieder verworfen. Vielleicht müssen die Längen der Ortsvektoren OA und OB übereinstimmen, damit es einen Punkt geben kann, der gleichzeitig von A 10LE und von B 5LE entfernt ist. Das erschien mir anhand der Zeichnung einleuchtend. Anders wüsste nicht vorzugehen.   ─   userf19875 05.11.2022 um 16:28
Auch bei der Zeichnung muss man ein wenig rechnen (nicht viel). Mit den Ortsvektoren hat man nichts zu tun. Stichwort "Zirkel".   ─   mikn 05.11.2022 um 16:34
Alles klar, ich versuche mich daran, Danke für die Hilfe.   ─   userf19875 05.11.2022 um 16:58

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