Hallo,

dass du mit dem Integral die Fläche unter einer Kurve berechnen kannst, das kannst du dir herleiten, indem du Ober- und Untersummen nimmst und die Balken immer kleiner werden lässt. So wurde bei uns in der Schule das Integral eingeführt. 

Das \(dx\) schreibt man dahinter, damit man weiß, wo das Integral zu Ende ist und nach welcher Variable man integriert. Wenn du nach \(t\) integrierst, würdest du ja zum Beispiel \(dt\) schreiben. 

Das \(d\) kommt von \(\text{Differenzial}\) würde ich vermuten und hat tatsächlich was mit dem Differentialoperator zu tun. Eine sehr verpönte aber meist richtige Anwendung ist das durchmultiplizieren mit einem \(dx\). Zum Beispiel bei:

$$\frac{d}{dt}x(t)=5t$$

$$d\ x(t)=5t\ dt$$

$$\int\ d x(t)=\int 5t\ dt$$

$$x(t) =\frac{5}{2}t^2+C$$

Also gilt:

$$x(t)=\frac{5}{2}t^2+C$$

Das sehen Mathematiker aber überhaupt nicht gern! Physiker machen das aber, weil es meistens praktisch funktioniert! ;)

Du siehst also, dass das \(dx\) für ein infinitesimal kleines Stück \(x\) stehen kann und sozusagen der Grenzfall für \(\lim_{\Delta x\rightarrow0}\) ist. Das ist aber nur zur Veranschaulichung und mathematisch inkorrekt.

Mathematisch ist es wie gesagt einfach die Schreibweise dafür, dass das Integral endet und wonach man integriert, bzw. wonach man ableitet! 

Ich hoffe das beantwortet deine Frage angemessen? :)