Dehninvariante/ Zerlegungsgleiche Prismen

Erste Frage Aufrufe: 104     Aktiv: 24.04.2024 um 01:02

0
Hallo zusammen, 
 
ich untersuche gerade die Zerlegungsgleichheit von Prismen. Lässt sich beispielsweise ein gerades Sechseckprisma in ein schiefes Sechseckprisma bei gleicher Höhe, Grundfläche und somit Volumen in endlich vielen Schritten überführen (Spoiler: ja, das geht). Nun tu ich mich allerdings schwer damit, es auch bei Prismen hinzukriegen, die eine ungerade Anzahl an Ecken auf der Grundfläche aufweisen. Bspw. bei einem Fünfeckprisma. Da ist die Dehninvariante bei beiden doch 0, oder? Dementsprechend müssten beide ineinander überführbar sein. Oder habe ich mich verrechnet? Ich finde jedoch, egal, wie lange ich rumprobiere, keine Lösung, bei dem ich tatsächlich das gerade Fünfeckprisma in ein schiefes überführen kann. Hat sich damit zufällig schon jemand beschäftigt und es gar hinbekommen?
Mir geht es nicht um das Prinzip von Cavallieri, sondern dass ich mehrere physische ,,Bausteine" habe, aus denen ich ein gerades und schiefes Prisma bauen kann. 

Danke schonmal!
 
 
 
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Ich habe herausgefunden, dass die Summe der Diederwinkel bei fünfeckigen Prismen nicht gleich bleibt, wenn man den Deckel neigt.
Ich habe hierzu ein Java-Programm geschrieben, was die fünf Winkel zwischen Deckel und den Seitenflächen summiert.

Hier die Ergebnisse:
Neigungswinkel   0° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!500000\pi\)
Neigungswinkel 10° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!499999\pi\)
Neigungswinkel 20° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!499960\pi\)
Neigungswinkel 30° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!499689\pi\)
Neigungswinkel 40° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!498633\pi\)
Neigungswinkel 50° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!495603\pi\)
Neigungswinkel 60° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!488389\pi\)
Neigungswinkel 70° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!473372\pi\)
Neigungswinkel 80° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!445569\pi\)
Neigungswinkel 89° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!405454\pi\)
Neigungswinkel 89,9999° \(\Rightarrow\) \(\sum\) Innenwinkel = \(2,\!400001\pi\)

Die Innenwinkelsumme scheint monoton von \(2,\!5\pi\) auf \(2,\!4\pi\) zu fallen, so dass sie niemals zweimal den gleichen Wert annimmt.

Das heißt aber nicht, dass ein schiefes 5-Eck-Prisma nicht doch zu einem geraden 5-Eck-Prisma zerlegungsgleich. Schließlich müssen die Diederwinkel nur molulo \(\mathbb{Q}\pi\) gleich sein. Dann muss man aber dafür sorgen, dass Volumen und Summe der Kantenlänge gleich bleibt. Man kann noch die Höhe ändern, oder den Deckel um die Prismaachse drehen. Man hat also zwei Freiheitsgerade für zwei Bedingungen. Ob und wenn ja wie man damit Volumen und Summe der Kantenlänge gleich halten kann, weiß ich nicht. Das habe ich noch nicht durchgerechnet.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.25K

 

Wow, vielen Dank!
Ich habe ein paar Fragen:
- wie lange hast du die Kantenlänge angenommen, damit du auf 2,5π bei 0° kommst?
- ist dein Code so geschrieben, dass du auch Prismen mit anderer Grundfläche eingeben kannst (z. B. 6 Ecken)? Falls ja, könntest du das tun und schauen, ob da wiederum die Summe stets gleich bleibt? Meine händischen Rechnungen sagen ja, aber evtl. ist ein Computerprogramm, das es berechnet, ja weniger fehleranfällig.

  ─   userbfa5f1 22.04.2024 um 19:28

Ich habe mich bei meinem Programm nur auf den Diederwinkel konzentiert.
Die Kantenlänge(n) können daher beliebig sein - das ändert die Diederwinkel nicht.
Auch bei 6,8,10,12 und 14 Grundflächen-Ecken spukt das Programm Diederwinkel-Summen aus, die nicht von der Neigung des Deckels abhängen. Sie ist immer \(\pi \cdot (\mbox{Anzahl der Ecken der Grundfläche}) /2\).
  ─   m.simon.539 24.04.2024 um 01:02

Kommentar schreiben