Aussage über Konvergenz & Divergenz

Aufrufe: 949     Aktiv: 06.11.2019 um 22:58

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Ist es richtig, dass man bei dieser Reihe keine Aussage darüber treffen kann, ob diese Konvergenz oder Divergenz ist? Ich habe dies mittels des Wurzelkriteriums gelöst und habe einen Grenzwert von 1 bekommen.

Kann bitte jemand überprüfen ob mein Ergebnis richtig ist. Danke!

\(  \sum_{n=1}^{\infty} (\frac {n-1} {n})^n \)

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Student, Punkte: 56

 
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Hallo,

nein so eine Aussage wie "man kann keine Aussage treffen" kann nicht richtig sein. Die Reihe muss konvergieren oder divergieren. Ich habe das Wurzelkriterium nicht überprüft, aber wenn deine Aussage stimmt, dann liefert dir das Wurzelkriterium keine Aussage. Das heißt aber nicht, dass du nicht mit einem anderen Kriterium eine Aussage treffen kannst. 

Wenn deine Reihe

$$\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{n-1}{n}\Bigr)^n$$

ist, dann divergiert sie offensichtlich, denn die Folge, die in der Reihe steht, ist nichtmal eine Nullfolge. Es gilt:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigl(\frac{n-1}{n}\Bigr)^n=\frac{1}{e}.$$

Ich hoffe das hilft dir! :)

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Student, Punkte: 2.6K

 

Mit welchem Kriterium habe ich dann diese Aufgabe zu lösen, wenn die Aufgabenstellung lautet:
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.
  ─   FFD 03.11.2019 um 13:47

Es gibt keine allgemeingültige Lösung. Konvergenz ist zu komplex, als dass man sagen könnte: "Das Wurzelkriterium reicht." Du musst Dinge ausprobieren. Du kannst zum Beispiel:
- Wurzelkriterium
- Quotientenkriterium
- Majoranten-/Minorantenkriterium
- Ist die Folge eine Nullfolge?
als Kriterien benutzen. Aber eine davon reicht nicht für alle Reihen aus! :)
  ─   endlich verständlich 03.11.2019 um 13:48

Ich komme immer noch auf die Lösung, dass man darüber keine Aussage machen kann, aber dabei bin ich mir noch unsicher ob das so richtig ist.   ─   FFD 05.11.2019 um 22:15

Schau mal: In deiner Reihe steht eine Folge drin und die Reihe summiert alle Folgenglieder auf. Wenn aber doch alle Folgenglieder ungefähr so groß sind wie 0,37 und du die aufsummierst, dann kommt da unendlich raus. Somit divergiert deine Reihe.
Die Grundvoraussetzung für Konvergenz ist, dass deine Folge über die du summierst für große n gegen 0 geht! :)
  ─   endlich verständlich 05.11.2019 um 22:18

Erstmal danke für deine Antwort. Nun habe ich verstanden was du meintest, aber wie soll ich das beweisen?
  ─   FFD 05.11.2019 um 22:52

Kennst du nicht die Folge für die Exponentialfunktion? Du kannst dir aus ihr direkt herleiten, dass deine Folge gegen \(\frac{1}{e}\) konvergiert! :)   ─   endlich verständlich 06.11.2019 um 10:44

Danke hab's hinbekommen :)   ─   FFD 06.11.2019 um 22:58

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