$v_z$ ist die Geschwindigkeit in  z-Richtung, also die stark die Schraube auseinandergezogen ist. Plotte Dir das mal, dann siehst Du das. Muss natürlich gegeben sein.
Mit Deiner Rechnung machst Du ein Durcheinander, kein Wunder, dass Du verwirrt bist.
Es gibt kein $W$, sondern ein $\omega$ (Winkelgeschwindigkeit). Dann rechnet Du $\frac{\partial \vec r(t)}{\partial r}$ aus, was soll das sein? Es gibt kein $r$. Vielmehr ist - siehe Formel - $\vec r'(t)$ gefragt (u.a.). Warum neue Schreibweisen einführen? Dann schreibst Du dasselbe nochmal hin, ist aber ausgerechnet was anderes. Einmal erste Ableitung, einmal zweite: gleiche Bezeichnung...
Was Du dann rechnest, ist mir zu mühselig zu lesen und nachzuvollziehen, insb. der letzte Schritt. Wenn Du mal alles lesbar, geordnet, mit verbindendem Text aufschreibst, schau ich mir das gerne an. Aber dann wirst Du es vielleicht auch selbst verstehen und hast gar keine Fragen mehr dazu.