Hallo,
wenn du \(y=\sqrt{x}\) substituierst, dann gilt:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2y}.$$
Es folgt: \(dx=2y\ dy\)
Somit hast du:
$$\int{\sqrt{\sqrt{x}+1}}\ dx=\int\sqrt{y+1}\cdot2y\ dy$$
Dann kannst du noch \(z=y+1\) substituieren:
$$\int{\sqrt{\sqrt{x}+1}}\ dx=\int\sqrt{z}\cdot2(z-1)\ dz$$
Das kann man dann ausmultiplizieren und auseinander ziehen:
$$\int\sqrt{z}\cdot2(z-1)\ dz=2\Biggl(\int z\sqrt{z}\ dz-\int\sqrt{z}\ dz\Biggr)=2\Biggl(\int z^{3/2}\ dz-\int z^{1/2}\ dz\Biggr)$$
Das sind jetzt einfache Integrale:
$$\int z^{3/2}\ dz-\int z^{1/2}\ dz=\frac{2}{5}z^{5/2}-\frac{2}{3}z^{3/2}.$$
Wenn du dann wieder alles zusammenschusterst und resubstituierst, bist du fertig und solltest dein Ergebnis auf die Form:
$$\frac{4}{15} \Bigl(1 + \sqrt{x}\Bigr)^{3/2} \Bigl(-2 + 3 \sqrt{x}\Bigr)$$
bringen können! ;)
Student, Punkte: 2.6K
\(\int f(g(x))\cdot g'(x)\ dx=\int f(y) \cdot g'(x)\cdot \frac{1}{g'(x)}\ dy=\int f(y)\ dy\), also eine besonders schöne Form, die du dann hast! :)
Es geht aber auch allgemeiner! ;) ─ endlich verständlich 19.12.2019 um 16:31
Ohne zu sehen welches die innere funktion ist.
Dann ist es erfahrung damit ich dann auch das richtige substituiere? ─ anonym4d9d4 19.12.2019 um 16:41
Ohne zu sehen, welches die innere Funktion ist!
Erfahrung oder halt ausprobieren. Beim Wurzeln substituieren ist es halt schön, dass die Ableitung ja wieder eine Wurzel enthält.
Ganz genau! Du brauchst eine Beziehung zwischen \(dx\) und \(dy\) und wenn du \(y\) nach \(x\) ableitetest, ist das ja gerade \(\frac{dy}{dx}\). ;) ─ endlich verständlich 19.12.2019 um 17:00
Die funktion ist ja nicht von der Form f(g(x)) * g‘(x)? Oder ist diese form für die Substitution nicht notwendig? ─ anonym4d9d4 19.12.2019 um 16:14