Komplexe Zahlen..

Aufrufe: 56     Aktiv: 17.02.2021 um 02:57

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kann jmd mir helfen um diese Aufgabe zu lösen ?

oder zu mindst ein Vedio vorschlagen..unter welchem Title soll man im Internent suchen ?
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2 Antworten
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Rechne doch mal \(z_1+z_2\) und \(z _1 \cdot z_2\) aus. Dann sieht man sofort, dass der Imaginärteil Null ist.
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Selbstständig, Punkte: 6.9K
 

danke schon..die Antwort von \( Z1 + Z2 \) \(ist = 2a \) ist \( 2a \) ein reele Zahl weil das keine \(i\) enthält.und die antwort von \( Z1 * Z2 ist = a^{2}+b^[2} \)..ist das reele Zal weil dass kein i auch enthält ?   ─   adamk 17.02.2021 um 01:49

Korrekt.   ─   cauchy 17.02.2021 um 02:57

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Für die Hinrichtung kann man einfach nachrechnen.

Für die Rückrichtung kann man zwar auch rechnen, ich würde aber folgendermaßen vorgehen:

Wenn \( z_1 + z_2 \) und \( z_1 \cdot z_2 \) reelle Zahlen sind, dann ist \( p = X^2 - (z_1 + z_2)X + z_1 \cdot z_2 \) ein reelles Polynom mit den Nullstellen \( z_1 \) und \( z_2 \).

Da die komplexe Konjugation \( \mathbb{R} \)-linear ist, gilt aber auch \( p(\overline{z_1}) = \overline{p(z_1)}= \overline{0} = 0 \), also ist \( \overline{z_1} \) eine Nullstelle von \(p\).

Nun gibt es zwei Fälle:
1. Fall: \( \overline{z_1} = z_1 \). Dann ist \( z_1 \) reell und da \( z_1 + z_2 \) reell ist, muss dann auch \( z_2 \) reell sein.
2. Fall: \( \overline{z_1} = z_2 \). Dann sind \( z_1 \) und \( z_2 \) konjugiert.
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