Verteilungsfunktion

Aufrufe: 104     Aktiv: 05.12.2024 um 21:20

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Liebe community
Jede Woche habe ich Schwierigkeiten mit die Übungen, in den ich die Verteilung bestimmen muss. Ich sehe gar nicht, wie ich in dieser Übung eine Verteilungsfunktion bestimmen kann. Hat jemand einige Tipps? Für Erwartungswert und Varianz habe ich schon die Formeln.
Vielen Dank
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Student, Punkte: 44

 
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1 Antwort
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Um die Verteilung von \(S_n\) zu bestimmen, braucht man erstmal die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte, also \(P(S_n=m)\) für \(m\in M := \{0,...n\}\).
Diese lauten bekanntermaßen (Bernoulli-Verteilung): \(P(S_n = m) = \binom{n}{m} p^m q^{n-m}\), wobei \(q=1-p\).
Kennst Du die obige Formel?
Dann gilt für die Verteilungsfunktion
  \(\displaystyle F(x) =P(S_n\le x) = \sum_{m\in W(x)}^n P(S_n = m) = \sum_{m\in W(x)}^n \binom{n}{m} p^m q^{n-m} \).
Dabei ist \(W(x)\) alle möglichen Werte von \(S_n\), die kleiner gleich x sind, also
  \(W(x) = \{m\in M;\; m\le x\}\).
Dieses F kann man dann noch schöner aufschreiben, denn für \(x<0\) ist ja z.B. \(W(x)=\emptyset\), also \(F(x)=0\).
Mit der floor-Funktion
  \(\lfloor x \rfloor\) = größste ganze Zahl, die kleiner gleich x ist
kann man für \(0<x<m\) schreiben:  \(W(x) = \{0,\ldots,\lfloor x \rfloor\}\).
Usw.

Das Ganze findest Du auch in der Wikipedia: Verteilungsfunktion von diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßen

Bei Fragen bitte gerne nochmal melden.

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Bernoulli-Verteilung kenne ich ja, vielen Dank, die Floor-Funktion kenne ich aber nicht, ich lese denn den Wikipedia Artikel :)   ─   lina1991 05.12.2024 um 14:27

Hier handelt es sich aber nicht um die Bernoulli-Verteilung, sondern um die Binomialverteilung. Die einzelnen \(X_i\) sind Bernoulli-verteilt.   ─   cauchy 05.12.2024 um 21:20

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