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Um die Verteilung von \(S_n\) zu bestimmen, braucht man erstmal die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte, also \(P(S_n=m)\) für \(m\in M := \{0,...n\}\).
Diese lauten bekanntermaßen (Bernoulli-Verteilung): \(P(S_n = m) = \binom{n}{m} p^m q^{n-m}\), wobei \(q=1-p\).
Kennst Du die obige Formel?
Dann gilt für die Verteilungsfunktion
\(\displaystyle F(x) =P(S_n\le x) = \sum_{m\in W(x)}^n P(S_n = m) = \sum_{m\in W(x)}^n \binom{n}{m} p^m q^{n-m} \).
Dabei ist \(W(x)\) alle möglichen Werte von \(S_n\), die kleiner gleich x sind, also
\(W(x) = \{m\in M;\; m\le x\}\).
Dieses F kann man dann noch schöner aufschreiben, denn für \(x<0\) ist ja z.B. \(W(x)=\emptyset\), also \(F(x)=0\).
Mit der floor-Funktion
\(\lfloor x \rfloor\) = größste ganze Zahl, die kleiner gleich x ist
kann man für \(0<x<m\) schreiben: \(W(x) = \{0,\ldots,\lfloor x \rfloor\}\).
Usw.
Das Ganze findest Du auch in der Wikipedia: Verteilungsfunktion von diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßen
Bei Fragen bitte gerne nochmal melden.
Diese lauten bekanntermaßen (Bernoulli-Verteilung): \(P(S_n = m) = \binom{n}{m} p^m q^{n-m}\), wobei \(q=1-p\).
Kennst Du die obige Formel?
Dann gilt für die Verteilungsfunktion
\(\displaystyle F(x) =P(S_n\le x) = \sum_{m\in W(x)}^n P(S_n = m) = \sum_{m\in W(x)}^n \binom{n}{m} p^m q^{n-m} \).
Dabei ist \(W(x)\) alle möglichen Werte von \(S_n\), die kleiner gleich x sind, also
\(W(x) = \{m\in M;\; m\le x\}\).
Dieses F kann man dann noch schöner aufschreiben, denn für \(x<0\) ist ja z.B. \(W(x)=\emptyset\), also \(F(x)=0\).
Mit der floor-Funktion
\(\lfloor x \rfloor\) = größste ganze Zahl, die kleiner gleich x ist
kann man für \(0<x<m\) schreiben: \(W(x) = \{0,\ldots,\lfloor x \rfloor\}\).
Usw.
Das Ganze findest Du auch in der Wikipedia: Verteilungsfunktion von diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßen
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m.simon.539
Punkte: 2.59K
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Bernoulli-Verteilung kenne ich ja, vielen Dank, die Floor-Funktion kenne ich aber nicht, ich lese denn den Wikipedia Artikel :)
─
lina1991
05.12.2024 um 14:27
Hier handelt es sich aber nicht um die Bernoulli-Verteilung, sondern um die Binomialverteilung. Die einzelnen \(X_i\) sind Bernoulli-verteilt.
─
cauchy
05.12.2024 um 21:20