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Zunächst solltest du eine Vermutung aufstellen. Die von den Mengen \( (a,b] \) erzeugte Sigma-Algebra ist ja die borelsche Sigma-Algebra \( \mathfrak{B}([0,1]) \). Damit wäre naheliegend, dass \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} = \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) ist.
Aus der Aufgabenstellung geht nicht eindeutig hervor, ob du das auch tatsächlich beweisen musst. Aber ein Beweis würde dann folgendermaßen gehen:
Für die Inklusion \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \subseteq \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) zeigt man, dass \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) eine Sigma-Algebra ist und dass \( \mathfrak{R} \) in dieser Sigma-Algebra enthalten ist.
Für die Inklusion \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \subseteq \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \) schreibt man zunächst \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} = \{ F \times [0,1] \ \vert \ F \in \mathfrak{F} \} \). Dass \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \) von dieser Form sein muss, folgt dabei aus der ersten Inklusion \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \subseteq \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \). Dann zeigt man, dass \( \mathfrak{F} \) eine Sigma-Algebra ist und dass die Mengen \( (a,b] \) in dieser Sigma-Algebra enthalten sind. Damit erhält man \( \mathfrak{B}([0,1]) \subseteq \mathfrak{F} \). Und daraus folgert man dann \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \subseteq \{ F \times [0,1] \ \vert \ F \in \mathfrak{F} \} \).
Als nächstes gilt es dann, eine Erweiterung von \( \mu \) auf \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) zu finden. Da musst du dir aber nichts neues einfallen lassen, sondern du kannst einfach das zweidimensionale Lebesgue-Maß nehmen und es auf \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) einschränken.
Über den Rest kannst du ja jetzt noch mal alleine nachdenken. Viel Erfolg :)
Aus der Aufgabenstellung geht nicht eindeutig hervor, ob du das auch tatsächlich beweisen musst. Aber ein Beweis würde dann folgendermaßen gehen:
Für die Inklusion \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \subseteq \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) zeigt man, dass \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) eine Sigma-Algebra ist und dass \( \mathfrak{R} \) in dieser Sigma-Algebra enthalten ist.
Für die Inklusion \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \subseteq \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \) schreibt man zunächst \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} = \{ F \times [0,1] \ \vert \ F \in \mathfrak{F} \} \). Dass \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \) von dieser Form sein muss, folgt dabei aus der ersten Inklusion \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \subseteq \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \). Dann zeigt man, dass \( \mathfrak{F} \) eine Sigma-Algebra ist und dass die Mengen \( (a,b] \) in dieser Sigma-Algebra enthalten sind. Damit erhält man \( \mathfrak{B}([0,1]) \subseteq \mathfrak{F} \). Und daraus folgert man dann \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \subseteq \{ F \times [0,1] \ \vert \ F \in \mathfrak{F} \} \).
Als nächstes gilt es dann, eine Erweiterung von \( \mu \) auf \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) zu finden. Da musst du dir aber nichts neues einfallen lassen, sondern du kannst einfach das zweidimensionale Lebesgue-Maß nehmen und es auf \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) einschränken.
Über den Rest kannst du ja jetzt noch mal alleine nachdenken. Viel Erfolg :)
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eine Frage hätte ich gerade jetzt noch. Meinst du das Lebesgue-Prämass oder wirklich das Lebesgue-Mass? Denn irgendwie habe ich hier noch ein Durcheinander. Bzw. unser Prof hat beides eingeführt, aber für beide die gleiche Notation verwendet, sprich in Beweisen/Aufgaben ist es schwer beide auseinander zu halten. Meines Wissens ist aber das Lebesgue-Prämass nur auf $Q(\mathbb{R}^n)$ definiert, aber unsere Menge ist keine Teilmenge davon oder schon?
─
karate
14.10.2021 um 09:53
Ich meine wirklich das Lebesgue-Maß, denn wie du schon sagst ist \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) keine Teilmenge von \( Q(\mathbb{R}^2) \). Das Prämaß ist dort also nicht definiert.
Dass dein Prof für das Lebesgue-Maß und das Lebesgue-Prämaß die gleiche Notation verwendet ist sogar ganz gut, denn das Lebesgue-Maß ist ja nur eine Fortsetzung des Lebesgue-Prämaßes auf einen größeren Definitionsbereich. Auf \( Q(\mathbb{R}^n) \) stimmen sie ja per Konstruktion überein.
Mein Tipp: Das Lebesgue-Prämaß führt man eigentlich nur zur Konstruktion des Lebesgue-Maßes ein. Du kannst das Prämaß also vernachlässigen und immer mit dem Lebesgue-Maß arbeiten.
Bei dieser Aufgabe vereinfacht sich natürlich das zweidimensionale Lebesgue-Maß. Es gilt \( \lambda^2(B \times [0,1]) = \lambda(B) \) für alle \( B \times [0,1] \in \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \). Man sieht leicht, dass dies die gewünschte Fortsetzung von \( \mu \) liefert.
Man hätte auch einfach sagen können, dass \( \mu(B \times [0,1]) = \lambda(B) \) eine Fortsetzung von \( \mu \) auf \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \) ist. Aber dann ist nicht sofort klar, ob das auch tatsächlich ein Maß ist. Durch den ersten Ansatz mit dem Lebesgue-Maß weiß man jedoch direkt, dass es sich um ein Maß handelt (weil die Einschränkung eines Maßes auf eine kleinere Sigma-Algebra wieder ein Maß ist). ─ 42 14.10.2021 um 13:26
Dass dein Prof für das Lebesgue-Maß und das Lebesgue-Prämaß die gleiche Notation verwendet ist sogar ganz gut, denn das Lebesgue-Maß ist ja nur eine Fortsetzung des Lebesgue-Prämaßes auf einen größeren Definitionsbereich. Auf \( Q(\mathbb{R}^n) \) stimmen sie ja per Konstruktion überein.
Mein Tipp: Das Lebesgue-Prämaß führt man eigentlich nur zur Konstruktion des Lebesgue-Maßes ein. Du kannst das Prämaß also vernachlässigen und immer mit dem Lebesgue-Maß arbeiten.
Bei dieser Aufgabe vereinfacht sich natürlich das zweidimensionale Lebesgue-Maß. Es gilt \( \lambda^2(B \times [0,1]) = \lambda(B) \) für alle \( B \times [0,1] \in \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \). Man sieht leicht, dass dies die gewünschte Fortsetzung von \( \mu \) liefert.
Man hätte auch einfach sagen können, dass \( \mu(B \times [0,1]) = \lambda(B) \) eine Fortsetzung von \( \mu \) auf \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \) ist. Aber dann ist nicht sofort klar, ob das auch tatsächlich ein Maß ist. Durch den ersten Ansatz mit dem Lebesgue-Maß weiß man jedoch direkt, dass es sich um ein Maß handelt (weil die Einschränkung eines Maßes auf eine kleinere Sigma-Algebra wieder ein Maß ist). ─ 42 14.10.2021 um 13:26
Vielen Dank das macht mehr Sinn!
─ karate 15.10.2021 um 07:28
─ karate 15.10.2021 um 07:28
Wenn du Fragen dazu haben solltest, werde ich sie dir (soweit ich kann) gerne beantworten :) ─ 42 14.10.2021 um 04:17