Wie beweise ich diese Aussage über das Mass?

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Hallo Zusammen

Ich bin an folgender Aufgabe dran:

Sei $\Omega=[0,1]^2$ und $\mathfrak{R}$ der Ring in $\Omega$, welcher durch die Quader $[a,b)\times [0,1]$ erzeugt wird mit $0\leq a<b\leq 1$. Wir definieren ein Mass $\mu$ auf $\mathfrak{R}$ so dass $\mu([a,b)\times [0,1])=b-a$.

Beschreiben sie die $\sigma$-Algebra $\langle \mathfrak{R}\rangle^\sigma$ und die Erweiterung von $\mu$ darauf. Zeigen Sie auch, dass die Menge $[0,1]\times\{\frac{1}{2}\}$ nicht $\mathfrak{R}$-approximierbar ist und berechnen sie das äussere Mass $\mu^*([0,1]\times\{\frac{1}{2}\})$

Irgendwie habe ich hier zimlich Mühe zu verstehen was ich genau machen muss. Also erstens sehe ich nicht ganz wie ich die erzeugte $\sigma$-Algebra beschreiben soll. Also ich kenne die Definition, aber viel mehr kommt mir hier nicht in den Sinn. Da ich dann das nicht habe, ist es auch schwer zu zeigen dass die Menge nicht $\mathfrak{R}$-approximierbar ist, denn da würde ich einfach zeigen dass man die Menge als Vereinigung eines Elementes in der erzeugten $\sigma$-algebra mit einer Nullmenge schreiben kann. 
Weiter weiss ich auch nicht wie hier das äussere Mass definiert werden muss.

könnte sich vielleicht jemand Zeitnehmen und sich das alles kurz mit mir anschauen? Vielleicht könnte man dann auch ein wenig darüber diskutieren.

Wäre euch wirklich sehr dankbar!

Liebe Grüsse
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Zunächst solltest du eine Vermutung aufstellen. Die von den Mengen \( (a,b] \) erzeugte Sigma-Algebra ist ja die borelsche Sigma-Algebra \( \mathfrak{B}([0,1]) \). Damit wäre naheliegend, dass \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} = \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) ist.

Aus der Aufgabenstellung geht nicht eindeutig hervor, ob du das auch tatsächlich beweisen musst. Aber ein Beweis würde dann folgendermaßen gehen:

Für die Inklusion \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \subseteq \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) zeigt man, dass \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) eine Sigma-Algebra ist und dass \( \mathfrak{R} \) in dieser Sigma-Algebra enthalten ist.

Für die Inklusion \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \subseteq \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \) schreibt man zunächst \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} = \{ F \times [0,1] \ \vert \ F \in \mathfrak{F} \} \). Dass \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \) von dieser Form sein muss, folgt dabei aus der ersten Inklusion \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \subseteq \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \). Dann zeigt man, dass \( \mathfrak{F} \) eine Sigma-Algebra ist und dass die Mengen \( (a,b] \) in dieser Sigma-Algebra enthalten sind. Damit erhält man \( \mathfrak{B}([0,1]) \subseteq \mathfrak{F} \). Und daraus folgert man dann \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \subseteq \{ F \times [0,1] \ \vert \ F \in \mathfrak{F} \} \).

Als nächstes gilt es dann, eine Erweiterung von \( \mu \) auf \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) zu finden. Da musst du dir aber nichts neues einfallen lassen, sondern du kannst einfach das zweidimensionale Lebesgue-Maß nehmen und es auf \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) einschränken.

Über den Rest kannst du ja jetzt noch mal alleine nachdenken. Viel Erfolg :)
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Mir ist in meiner Antwort leider ein kleiner Fehler unterlaufen. Den habe ich jetzt korrigiert.
Wenn du Fragen dazu haben solltest, werde ich sie dir (soweit ich kann) gerne beantworten :)
  ─   anonym83bed vor 5 Tagen, 19 Stunden

eine Frage hätte ich gerade jetzt noch. Meinst du das Lebesgue-Prämass oder wirklich das Lebesgue-Mass? Denn irgendwie habe ich hier noch ein Durcheinander. Bzw. unser Prof hat beides eingeführt, aber für beide die gleiche Notation verwendet, sprich in Beweisen/Aufgaben ist es schwer beide auseinander zu halten. Meines Wissens ist aber das Lebesgue-Prämass nur auf $Q(\mathbb{R}^n)$ definiert, aber unsere Menge ist keine Teilmenge davon oder schon?   ─   karate vor 5 Tagen, 13 Stunden

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Ich meine wirklich das Lebesgue-Maß, denn wie du schon sagst ist \( \{ B \times [0,1] \ \vert \ B \in \mathfrak{B}([0,1]) \} \) keine Teilmenge von \( Q(\mathbb{R}^2) \). Das Prämaß ist dort also nicht definiert.
Dass dein Prof für das Lebesgue-Maß und das Lebesgue-Prämaß die gleiche Notation verwendet ist sogar ganz gut, denn das Lebesgue-Maß ist ja nur eine Fortsetzung des Lebesgue-Prämaßes auf einen größeren Definitionsbereich. Auf \( Q(\mathbb{R}^n) \) stimmen sie ja per Konstruktion überein.
Mein Tipp: Das Lebesgue-Prämaß führt man eigentlich nur zur Konstruktion des Lebesgue-Maßes ein. Du kannst das Prämaß also vernachlässigen und immer mit dem Lebesgue-Maß arbeiten.
Bei dieser Aufgabe vereinfacht sich natürlich das zweidimensionale Lebesgue-Maß. Es gilt \( \lambda^2(B \times [0,1]) = \lambda(B) \) für alle \( B \times [0,1] \in \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \). Man sieht leicht, dass dies die gewünschte Fortsetzung von \( \mu \) liefert.
Man hätte auch einfach sagen können, dass \( \mu(B \times [0,1]) = \lambda(B) \) eine Fortsetzung von \( \mu \) auf \( \langle \mathfrak{R} \rangle^{\sigma} \) ist. Aber dann ist nicht sofort klar, ob das auch tatsächlich ein Maß ist. Durch den ersten Ansatz mit dem Lebesgue-Maß weiß man jedoch direkt, dass es sich um ein Maß handelt (weil die Einschränkung eines Maßes auf eine kleinere Sigma-Algebra wieder ein Maß ist).
  ─   anonym83bed vor 5 Tagen, 10 Stunden

Vielen Dank das macht mehr Sinn!
  ─   karate vor 4 Tagen, 16 Stunden

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