Dert Vektor \(z\) liegt in der von \(x,y\) aufgespannten Ebene.  Der Cosinus der Winkel zwischen \(x,z\) und \(y,z\) ist gleich; das steht in der letzten Zeile. Da der Cosinus im Intervall \([0,\pi]\) injektiv ist, stimmen die Winkel also überein. Beachte dabei: Der Cosinus des Winkels hängt nur von den Richtungen ab, nicht von den Längen der Vektoren. Damit halbiert  \(z\) den Winkel zwischen \(x\) und \(y\).

Hilft das?