Umformung Induktionsaufgabe Schwerpunkt Umformung

Aufrufe: 296     Aktiv: 12.09.2023 um 21:59

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Beweisen Sie folgende Aussagen mit vollständiger Induktion:

$\sum\limits _{ i =1}^n \frac {1}{ i(i+1) } =1- \frac {1}{ (n+1) } \\ $         für alle  n ∈ N "natürliche Zahlen"

IA: n = 1

$\sum\limits _{ i =1}^1 \frac {1}{ 1(1+1) } = 1/2   \\1- \frac {1}{ (1+1) }= 1/2 \\ $ 

Ergo für n = 1 gehts auf.

IV:

∃ n ∈ N :
$\sum\limits _{ i =1}^n \frac {1}{ i(i+1) } =1- \frac {1}{ (n+1) } \\ $  


Induktionsschritt: n -> n+1

$\sum\limits _{ i =1}^{n+1} \frac {1}{ {(i}{(i+1)} } =1- \frac {1}{ (n+2) } \\ $  

zu zeigen also:

$1- \frac {1}{ (n+2) } \\ $

Summe auseinanderziehen und Induktionsvoraussetzung anwenden ergibt:

$\ 1- \frac {1}{ (n+1) } + \frac {1}{ (n+1)(n+2) } \\ $    jetzt würde ich einen Hauptnenner bilden, sprich den linken Bruch mit (n+2) multiplizieren

 $\ =1- \frac {1*(n+2)}{ (n+2)*(n+1) } + \frac {1}{ (n+1)(n+2) } \\ $ 

jetzt kann ich alles mit einem Nenner schreiben

$\ =1- \frac {(n+2)+1}{ (n+2)*(n+1) }  \\ $ 

jetzt würde mir noch einfallen den Zähler zu (n+3) zusammenzufassen. Im Nenner will ich aber n+2 stehen haben... Hier hakt es wieder. Ausklammern kann ich hier m.M.n nichts, bin. Formeln sehe ich auch nicht... Hoffe ich habs mit LaTex (gar nicht so einfach) soweit korrekt eigegeben.
Vll. mag ja jemand nen Tipp geben...
Die Bausteine der Vollst. Induktion sind mir  soweit klar (auch wenn es in vorherigen Posts nicht den Eindruck erweckt hat) und mit der Anwendung der IV hin zum Indusktionsschritt klappt es mittlerweile auch. Die Umformungen im Laufe des IS sind das Hauptproblem aus bekannten Gründen.

Nur mit entsprechender Übung werde ich beim Thema Umformung weiterkommen, welches zwangsläufig im Rahmen der vollst. Induktion auf mich zukommt.

VG
Don
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Den letzten Schritt (alles auf einen Nenner) solltest du nochmals prüfen: nur der Zähler $n+2$ des ersten Bruches verdient das Minuszeichen, vor der $1$ muss das $+$ bleiben.
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Punkte: 81

 

also

$\ =1- \frac {(n+2)-1}{ (n+2)*(n+1) } \\$

Danke für die Antwort! Vg Don
  ─   donkanalie 12.09.2023 um 21:05

Ist dir auch klar, warum?   ─   cauchy 12.09.2023 um 21:41

Hallo Cauchy,
nein!

Ich vermute es hängt damit zusammen, dass die 1 im Zähler des zweiten Bruchs nun auch hinter der 1 - steht, welche vor dem ersten Bruch steht, da -+ etwas wieder - ergibt.

  ─   donkanalie 12.09.2023 um 21:59

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