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Hallo liebe Mathematik freunde! Habe hier eine Aufgabe, für die ich leider auch keine Losungen habe, weshalb ich mich nun an euch wende. Gegeben ist die Funktion: \(f{z}=\frac{z-2}{z^2+3} \) , diese soll ich in eine Potenzreihe entwickeln, um den Entwicklungspunkt \(z_{0} = i \) . Zudem muss der Konvergenzradius angegeben werden. Meine Ansätze sind gewesen, diese erstmal Aufzusplitten mit der Partialbruchzerlegung, um es dann in eine Form der Geometrischen Reihe zu bringen. Dieses hat leider nicht so gut funktioniert.... Auch schon über die Ableitungen versucht, welches aber anscheinend auch nicht so viel von sich gibt? Muss ich da anders vorgehen, oder geht der Grundgedanke mit der Geometrischen Reihe schon in die richtige Richtung? Vielen Dank und einen schönen Tag euch noch! Ich muss meine Antwort jetzt hier bearbeitet hinzufügen, das ich aus irgendeinem Grund kein Kommentar schreiben konnte! Okay gut! Danke erstmal für die schnelle Antwort! Habe eine PBZ durchgeführt und im Nenner dann \({(z+i*\sqrt{3})}{(z-i*\sqrt{3})}\) stehen. Nach vielem umformen habe ich jetzt für den Bruch: \(\frac{A}{z+i*\sqrt{3}}, {A} = \frac{1}{2} - \frac{i}{\sqrt{3}}\) Für den zweiten Bruch: \(\frac{B}{z-i*\sqrt{3}}, {B} = \frac{1}{2} + \frac{i}{\sqrt{3}}\). Jetzt folgt die Umformung in die Geometrische Reihe: Ich bin so vorgegangen, dass ich die Brüche einzeln betrachtet habe. Im Allgemeinen den Zähler mit dem Nenner erweitert habe, diesen dann aus dem gesamten Bruch herausgezogen, um am Ende, leicht runtergebrochen so eine Form habe: Z = Zähler N = Nenner \(\frac{Z}{Z}*\frac{1}{1+\frac{N-Z}{Z}}\) Ich hoffe, es ist verständlich :) Von der Form her sollte es nun die Geometrische Reihe sein, wobei nun in der Summe -q^k stehen würde. Kann man dieses so machen? Weil der Bruch im Nenner schon wuchtig aussieht?
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1 Antwort
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Der Weg PBZ->geom. Reihe ist gut und führt auch hier zum Ziel. Was hat denn nicht geklappt? Wie weit bist Du gekommen?

Es ist hier im Forum immer gut, konkret das Problem zu benennen und den bisherigen Rechenweg beizulegen. Dann kann man schnell und gezielt helfen.
Die Aufgabe erfordert schon versiertes Umformen und ein gewisses Durchhaltevermögen.

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Ich darf mich selbst kommentieren, immerhin das geht.
PBZ ist richtig, Brüche einzeln betrachten auch das richtige Vorgehen.
Im Zähler sind jetzt Konstanten, die stören nicht (die gehen ja, so wie sie sind, in die Koeff. der Reihe als Faktoren ein).
Wir haben nun im Nenner $z+i\sqrt3$. Wir wollen haben $1-k(z-i)$, denn es soll ja um $i$ entwickelt werden. $k$ ist eine Konstante. Das geht so:
$z+i\sqrt3 = i+i\sqrt3 + (z-i) = i(1+\sqrt3)(1-k(z-i))$ mit $k=-1/(i(1+\sqrt3))$.
Das umschreiben auf geom. Reihe (Zähler von der PBZ nicht vergessen).
Das ganze analog mit dem zweiten Bruch.
Ja, das ist wuchtig.
  ─   mikn 17.08.2021 um 15:14

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