Injektivität & Surjektivität

Aufrufe: 622     Aktiv: 19.04.2021 um 12:54
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(1) Finden Sie ein Beispiel einer Menge X und einer Abbildung f : X → X, so dass f injektiv ist, aber nicht surjektiv.
(2) Finden Sie ein Beispiel einer Menge Y und einer Abbildung g : Y → Y , so dass g surjektiv ist, aber nicht injektiv. 

Für (1) habe ich f: IN -> IN, x -> x² 
Für IR >= 0 wäre es ja auch surjektiv, aber für IN sollte das nicht gelten, oder?

Und für (2) habe ich f: IN -> IN, x -> Ix-3I 
Hier tue ich mich etwas schwer die Surjektivität zu beweisen, obwohl ich mir sicher bin, dass es surjektiv ist. 

Mein Prof hat IN mit 0 definiert.
Danke für die Hilfe im Voraus ^^
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Student, Punkte: 27

 
Zu (i) du kannst dir doch ganz einfach klar machen an einem bsp, dass es nicht surjektiv ist.
Zu(ii) nutze, dass für n>3 |n-3| = n - 3 ist.   ─   finn2000 18.04.2021 um 23:01
zu (1) habe ich schon das Gegenbeispiel y=7 genommen, dann kommt mit der Umkehrabbildung f^(-1)(7)=Wurzel 7 und das ist ja keine natürliche Zahl, also nicht surjektiv.
zu (2) Soweit war ich auch schon: Habe dann einfach die Umkehrabbildung gebildet, also f^(-1)(y)=y+3 und das ist ja wieder in den natürlichen Zahlen, also Surjektiv, aber was mache ich denn mit x<=0??
   ─   kah.soph 18.04.2021 um 23:44
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1 Antwort
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Hallo,

deine Funktionen passen wunderbar. Dein Gegenbeispiel für die Surjektivität auch. Du solltest aber auf jeden Fall noch einen kurzen Satz dazu schreiben, warum die Funktion injektiv ist, auch wenn es offensichtlich scheint. 

Zur 2) Hier kannst du natürlich keine Umkehrabbildung finden, denn die Funktion ist ja nicht injektiv und somit auch nicht bijektiv. Das bedeutet es existiert keine Umkehrabbildung. 
Ein Gegenbeispiel dafür zu finden, dass diese Funktion nicht injektiv ist, sollte vermutlich klappen oder?

Für die Surjektivität, musst du ja "nur" zeigen, das alle natürlichen Zahlen wirklich angenommen werden. Da ihr die Null zu den natürlichen Zahlen dazuzählt, nutze eher

$$ | n-3 | = n-3 , \quad \text{für} \ n \geq 3 $$

Beschreibe was mit der Funktion passiert, wenn du nach und nach eine höhere Zahl einsetzt. Was dann mit den Zahlen \( n < 3 \) passiert ist nicht mehr wichtig für die Surjektivität (diese Zahlen sind nur wichtig, für das Gegenargument zur Injektivität).  

Grüße Christian
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vielen Dank! bei (1) habe ich die Injektivität gezeigt mit f(x)=f(x') => x²=x'² => IxI = Ix'I für alle x,x' aus IN.
dann hab ich jetzt auch endlich meine Lösung für (2) ^^   ─   kah.soph 19.04.2021 um 12:40
Ja wunderbar, sehr gerne. Um ganz exakt zu sein, schreibe noch

$$ |x| = |x'| \Rightarrow x = x' \quad ,\text{da} \ x \geq 0 $$
   ─   christian_strack 19.04.2021 um 12:54

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