Teilmenge von Funktionswerten

Aufrufe: 39     Aktiv: vor 5 Tagen, 17 Stunden

1

Hi zusammen, es geht um folgende Teilmenge: 

f ist eine Abbildung mit:

Kann das sein, dass das nur gilt wenn A und A' disjunkt sind und f nicht injektiv ist? Dann würde man die leere Menge auf sich selbst abbilden (geht das überhaupt?) und wenn es dann je zwei Elemente in A und A' gibt, die auf das selbe Element b=f(a)=f(a') abbilden, dann stimmt die Aussage. Ich sehe irgendwie keine anderen Möglichkeit.. gibt es überhaupt andere Möglichkeiten? 

Diese Frage melden
gefragt

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 75

 

Kommentar schreiben

2 Antworten
2
Diese Inklusion gilt immer.

Es handelt sich ja hier um Mengen, deshalb nehmen wir uns einfach mal ein beliebiges Element aus \( f(A \cap A^\prime)\) und gucken, ob es auch in \( f(A) \cap f(A^\prime) \) liegt. Ist dies der Fall, dann folgt damit die Inklusion.

Sei also \( y \in f(A \cap A^\prime)\). Das heißt, es gibt ein \( x \in A \cap A^\prime \) mit \( f(x)=y \). Nun ist aber insbesondere \( x \in A \), also \( y \in f(A) \). Und außerdem ist \( x \in A^\prime \), also auch \( y \in f(A^\prime) \). Insgesamt folgt also \( y \in f(A) \cap f(A^\prime) \).

Und damit ist die Inklusion bewiesen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 4.95K
 

Kommentar schreiben

2
Die Aussage ist stets wahr. Ist \(x\in f(A\cap A')\), dann gibt es \(a\in A\cap A'\) mit \(f(a)=x\), dann ist \(x\in f(A)\) wegen \(a\in A\) und analog \(x\in f(A')\) wegen \(a\in A'\), also auch \(x\in f(A)\cap f(A')\). Daraus folgt die Inklusion.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 5.04K
 

Kommentar schreiben