Diese Inklusion gilt immer.

Es handelt sich ja hier um Mengen, deshalb nehmen wir uns einfach mal ein beliebiges Element aus \( f(A \cap A^\prime)\) und gucken, ob es auch in \( f(A) \cap f(A^\prime) \) liegt. Ist dies der Fall, dann folgt damit die Inklusion.

Sei also \( y \in f(A \cap A^\prime)\). Das heißt, es gibt ein \( x \in A \cap A^\prime \) mit \( f(x)=y \). Nun ist aber insbesondere \( x \in A \), also \( y \in f(A) \). Und außerdem ist \( x \in A^\prime \), also auch \( y \in f(A^\prime) \). Insgesamt folgt also \( y \in f(A) \cap f(A^\prime) \).

Und damit ist die Inklusion bewiesen.

Die Aussage ist stets wahr. Ist \(x\in f(A\cap A')\), dann gibt es \(a\in A\cap A'\) mit \(f(a)=x\), dann ist \(x\in f(A)\) wegen \(a\in A\) und analog \(x\in f(A')\) wegen \(a\in A'\), also auch \(x\in f(A)\cap f(A')\). Daraus folgt die Inklusion.