Wir brauchen zusätzlich zu den Additionstheoremen noch die Gleichung \( \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 \) bzw. \( \cos^2(a) = 1 - \sin^2(a) \).

Die Grundidee ist die Folgende: Wir schreiben \( \sin(3a) = \sin(2a+a) \) und wenden das entsprechende Additionstheorem an. Dort tauchen dann die Ausdrücke \( \sin(2a) \) und \( \cos(2a) \) auf, die wir zunächst mit den Additionstheoremen ausrechnen:

\( \sin(2a) = \sin(a+a) = \sin(a) \cos(a) + \cos(a) \sin(a) = 2 \sin(a) \cos(a) \)

\( \cos(2a) = \cos(a+a) = \cos(a) \cos(a) - \sin(a) \sin(a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) \)

Nun bringen wir alle Vorarbeiten zum Beweis zusammen:

\( \sin(3a) = \sin(2a+a) \) \( = \sin(2a) \cos(a) + \cos(2a) \sin(a) \) \( = (2 \sin(a) \cos(a)) \cos(a) + (\cos^2(a)-\sin^2(a)) \sin(a) \) \( = 3 \sin(a) \cos^2(a) - \sin^3(a) \) \( = 3 \sin(a) (1-\sin^2(a)) - \sin^3(a) \) \( = 3 \sin(a) - 4 \sin^3(a) \)

Ich hoffe, das war alles soweit verständlich. Bei Rückfragen kannst du dich gerne noch mal melden :)