Das mit dem k < n finde ich hier auch eher verwirrend. Normalerweise schreibt man den Induktionsbeweis so:

1. Induktionsverankerung, die Behauptung gilt für n = 1, was man dann zeigt
2. Induktionsbehauptung, die Behauptung gilt für n
3. Induktionsschritt, die Behauptung gilt auch für n+1, zu zeigen mit Hilfe der Induktionsbehauptung.

Ein zusätzliches k hier einzubauen - das kann man machen, führt aber offensichtlich nur zur Verwirrung.

Induktionsschritt: Ich will das Kapital nach n+1 Jahren berechnen. Dafür nehme ich das Kapital nach n Jahren aus meiner Induktionsbehauptung und multipliziere das mit \(1+\frac{r}{100}\), so wie man das in der Prozentrechnung macht, wenn man etwas um r% erhöht. Und somit hat man die Formel für (n+1) Jahre gezeigt.
Das wurde hier etwas merkwürdig aufgeschrieben. Hier wurde das Kapital nach n Jahren genommen (IB) und dann dieses Kapital noch einmal mit r% verzinst, danach wurde K ausgeklammert und vorne dran geschrieben und \((1+\frac{r}{100})^n\) ausgeklammert und hinten dran geschrieben.

Ich hätte eher eine Variable \(K_n\) (Kapital nach n Jahren) eingeführt und gezeigt, dass \(K_n=K\cdot(1+\frac{r}{100})^n\) ist.