Wie berechne ich die Summe dieser Reihe?

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Hallo Zusammen

Ich müsste die Summer der folgenden Reihe berechnen

Mir wurde gesagt, dass ich das irgendwie mit der Ableitung dieser Reihe machen kann. doch irgendwie sehe ich den Zusammenhang nicht. ich verstehe nicht was mir die Ableitung bringen soll. Auch wenn ich es gemacht habe komme ich nicht weiter. 

Ich hoffe jemand könnte mir möglichst schnell helfen. (Ihr müst mir nicht die Aufgabe lösen, aber wäre froh wenn ich eine Erklärung für den Hintergedanken bekommen würde)

Vielen dank!!

gefragt 1 Monat, 2 Wochen her
karate
Student, Punkte: 338

 
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1 Antwort
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Die Idee ist, wenn man die Ableitung kennt, kann man durch Integrieren die Originalfunktion berechnen. Diese Potenzreihe kann man schön ableiten, welche Reihe hast Du als Ableitung bekommen? Und woran erinnert Dich diese Reihe?

geantwortet 1 Monat, 2 Wochen her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 9.9K
 

aber wenn ich doch das ganze ableite, und dann wieder integriere bin ich ja wieder bei 0 nicht?
ich habe die summe(n^2x^n-1) bekommen
  ─   karate 1 Monat, 2 Wochen her

Es geht natürlich darum, dass man damit auf eine Reihe kommt, die man explizit als Funktion (also ohne Reihe) schreiben kann. Ok, dann integriere die Reihe mal, was kommt dann raus?   ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

sorry stehe irgendwie auf dem schlauch, dann bekomme ich doch wieder summe(nx^n) oder nicht?
  ─   karate 1 Monat, 2 Wochen her

Die Originalreihe integrieren, bitte.
  ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

aha aber wieso nun integrieren?
Ja dann komme ich auf summe(n^2/(2(n+1))x^(n+1))
  ─   karate 1 Monat, 2 Wochen her

An Mathe-Aufgaben geht man spielerisch heran, das ist ja das schöne. Wer beim Lesen der Aufgabe erwartet, direkt den kompletten Lösungsweg vor Augen zu haben, muss schon sehr frustliebend sein.
So, was fällt jetzt auf? Schön wäre es, wenn sich der Vorfaktor rauskürzen würde. Tut er aber nicht, aber fast. Welche Potenz von x bräuchte man, damit er sich rauskürzt? Wie hängt die Reihe mit der Wunsch-x-Potenz mit der Originalreihe zusammen?
Ich nehme Dir den Spaß, das spielerische, aus der Sache, sorry.
  ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

ja das bin ich der gleichen Meinung nur das Problem ist wenn ich den Sinn des tipps nicht sehe bzw gar nicht weiss was ich mache kann ich leider nicht herumspielen...
ja der Vorfaktor kürzt sich doch raus wenn der Exponent der Kehrwert des Forfaktors-1 ist?
  ─   karate 1 Monat, 2 Wochen her

Tja, man muss schon etwas Spaß am Experimentieren haben (d.h. mal was ausprobieren, wo der Ausgang von vornherein nicht klar ist - NUR so lernt man).
Wie sieht also die Reihe aus, die wir gerne integrieren würden? Wie hängt diese mit der Originalfunktion, die wir mal f(x) nennen, zusammen?
  ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

Also die Reihe die wir gerne integrieren würden sieht aus wie eine Potenzreihe, nur dass sie noch von n abhängig ist. Ich glaube unser ziel ist es die summe der Reinen Potenzreihe x^n zu erhalten, da man dann für |x|<1 eine Formel hat...
wie sieht es damit aus?
  ─   karate 1 Monat, 2 Wochen her

Bitte nicht mit Worten beschreiben, wir machen hier Mathe. Wie lautet die Reihe, die wir gerne integrieren würden, weil sich dann der Vorfaktor rauskürzt? Und die 2. Frage oben auch, bitte Formeln. Idee richtig, aber jetzt Formeln.   ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

sorry....
ah also erhalte ich folgendes(habe es oben als Bild gepostet)
  ─   karate 1 Monat, 2 Wochen her

Uih, jetzt bin ich echt beeindruckt! Super! Auch vom Aufschreiben her.
Allerdings doch noch ein Schönheitsfehler (der häufig vorkommt!): \(\sum\limits_{i=1}^\infty x^i\neq \frac1{1-x}\), richtig ist: \(\sum\limits_{i=0}^\infty x^i = \frac1{1-x}\). Das erfordert noch eine kleine Korrektur. Kriegst Du das hin?
  ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

oh ja das habe ich übersehen. ich denke schon da kann ich ja einfach den ersten Summand also von der neuen summe die von 0 beginnt abziehen.
Noch eine Frage, es scheint mir dass du sehr erfahren bist, ich bin immer noch im ersten Semester und wollte fragen ob du nützliche Tipps hast für die Prüfungen, bzw ob du gute Aufgabenbücher kennst um zusätzliche Aufgaben zu lösen, damit man in gewissen Rechenfertigkeiten (Tricks) Übung bekommt?
  ─   karate 1 Monat, 2 Wochen her

Genau, sehr gut, den ersten (also den für i=0) Summanden subtrahieren.
Hm... was studierst Du denn? Und an welcher Uni oder FH? Sag mindestens ob Uni oder FH.
  ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

Gute Uni. Hm... was empfehlen denn Deine Dozenten an Büchern?   ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

Also in analysis haben wir eigentlich ein Skript das sich nach dem Buch Analysis 1 von Stefan Hildebrandt richtet.
Und in lineare Algebra ist es eben so dass unser Prof gar kein Skript hat
  ─   karate 1 Monat, 2 Wochen her

Das Hildebrandt-Buch kenne ich nicht, die anderen beiden empfohlenen (Forster, Königsberger) sind Klassiker, die aber vermutlich nicht so einfach zu lesen sind für den Anfänger.
Wenn Du mehr auf's Rechnen zielst (Analysis, Lin. Alg.) dann empfehle ich Dir meine Bücher (Link in meinem Profil) ;-) andere machen hier ja auch Werbung... . Ist auch an den Züricher Bibl. vorhanden. Davon lernst Du aber nicht das Beweisen. Was für Mathe-Stud. gut geeignet wäre, da bin ich gerade überfragt. Ich versuche mal einen anderen hier einzuschalten.
  ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

Okei ja genau Forster kenne ich auch vom Hören her. Nein ein wenig beweisen wäre natürlich auch sehr gut, da zwar schon ein paar "normale" Rechnungen an der Prüfung kommen doch auch mehrheitlich Beweise.

Wäre toll wenn ich einige Tipps bekommen würde.
  ─   karate 1 Monat, 2 Wochen her

Ich glaub es ist am besten, Du machst aus der Frage nach Büchern zum Studium ne extra neue Frage, mit den Angaben zu Studienfach usw. Dann springt bestimmt jemand drauf an.   ─   mikn 1 Monat, 2 Wochen her

Sowohl für Analysis 1 +2 als auch für Lineare Algebra 1+ 2 kann ich die Repetiorien von Timmann empfehlen. Diese Bücher sind gut geeignet um Wissenslücken aus der Vorlesung zu füllen. Ich möchte Sie aber eher als sehr umfangreiche Nachschlagewerke bezeichnen wollen. Sie beinhalten zu allen Themenbereichen die wichtigsten Definitionen und Sätze. Für viele Sätze sind kurze präzise aber für den Studienanfänger verständliche Beweise angebracht. Außerdem zu jedem Thema einige Übungsaufgaben mit Lösungen. Und das Preis-Leistungs-Verhältnis für studentische Verhältnisse stimmt auch.   ─   maqu 3 Wochen, 3 Tage her
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