Hey,

du hast den Induktionsanfang also bereits durchgeführt und gesehen, dass die Aussage für \( n = 1 \) stimmt.

Nun stellt man die Induktionsvoraussetzung auf, dass die Aussage für mindestens ein \( n \in \mathbb{N} \) gilt.

Der kritische Part ist dann der Induktionsschritt. Hier willst du zeigen, dass die Aussage auch für \( n + 1 \) gültig ist.

Entsprechend kannst du umformen:

\( \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} + \frac{1}{(3n+1)(3n+4)}\)

Hier habe ich also nichts weiter gemacht, als \( n+1 \) in die Gleichung einzusetzen und die Summe dann etwas auseinanderzuziehen. Jetzt kannst du die Induktionsvorraussetzung nutzen und auf die Summe anwenden, also gilt

\( = \frac{n}{3n+1} + \frac{1}{(3n+1)(3n+4)} \)

Hier musst du nun also weiter umformen:

\( = \frac{n(3n+4) + 1}{(3n+1)(3n+4)} \)

Dafür musst du nun noch zeigen, dass der Ausdruck sich zu \( \frac{n+1}{3n+4} \) umformen lässt. Aber das kriegst du bestimmt selber hin!

VG
Stefan

Wenn du n in dem gegebenen Ausdruck n/(3n+1) durch (n+1) ersetzt und die 3 mit (n+1) im  Nenner ausmultipliziertst und 1 addierst, ergibt sich n+1/(3n+4).

Das erwartest du ja auch, da du im Induktionsschritt

einerseits links vom Gleichheitszeichen die Summe um 1 erhöhst [von n auf n+1] und den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung nutzt

und andererseits rechts vom Gleichheitszeichen den Ausdruck veränderst, indem du (n+1) für n einsetzt.