Beispiel für Fouriertransformierte

Aufrufe: 328     Aktiv: 02.04.2023 um 16:42
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Hallo,
Ich suche eine Funktion f ૯ L2( R), deren Fouriertransformierte nicht stetig ist. Könnte mir jemand hier ein geeignetes Beispiel nennen ?
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Wo ist denn das Problem? Tabelle nehmen und in der Spalte der FTs nach was unstetigem suchen.
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Verstehe nicht so genau, wie das aussehen soll in L2 bzw. was damit gemeint ist.   ─   user372b61 29.03.2023 um 14:47
Wenn Du nicht weißt, was $L^2(R)$ ist, dann solltest Du das fragen und nicht nach was anderem. Was steht in Deinen Unterlagen zu $L^2(R)$?   ─   mikn 29.03.2023 um 15:00
Der Raum L2(RN ) wird durch〈f, g〉= integral f (x)g(x) dx für f, g ∈ L2(RN ) definiert, wobei f(x) komplex konjugiert wird. Das heißt ich suche eine Funktion die das erfüllt und nicht stetig ist bezüglich der Fouriertransformierten, wenn ich das richtig verstandne habe...


   ─   user372b61 29.03.2023 um 15:10
Ja, das ist das Skalarprodukt in L^2. Du hast gesagt, $f\in L^2$ suchst Du mit unstetiger FT. Jetzt bin ich aber nicht mehr sicher, ob Du das suchst. "stetig bez. FT" gibt es nicht. Lade mal die Aufgabe im Original als Foto hoch (oben "Frage bearbeiten"). Achso, und da wir auf R sind, (nicht ein Intervall [a,b]), sind auch nicht alle stetigen Funktionen in L^2(R). Hab ich oben korrigiert.   ─   mikn 29.03.2023 um 15:53
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Weitere Info: in $L^2(R)$ sind insb. alle stetigen Funktionen $f$, für die $\int\limits_{-\infty}^\infty (f(x))^2dx <\infty$ ist. Weiter alle stückweise stetigen mit kompaktem Träger. Du kannst also eine FT durchgehen und in der Spalte der FT was unstetiges suchen und dann prüfen, ob in der zugehörigen Spalte für $f$ eine der beiden eben genannten Bedingungen erfüllt ist.   ─   mikn 29.03.2023 um 17:44
Finde den Ratschlag, einfach in einer Tabelle zu gucken, wenig instruktiv um ehrlich zu sein. Dabei wird nichts gelernt oder verstanden und wir könnten gleich das "kanonische Beispiel" geben.   ─   crystalmath 30.03.2023 um 18:27
Man muss halt schauen welche Tabelleneinträge in $L^2$ sind, und lernt dabei was das bedeutet.   ─   mikn 30.03.2023 um 20:01
Also sagen wir, dass entweder $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$ oder $f(x)=e^{-ix}$ es sind? Man muss ja nur noch rausfinden, welcher der beiden in $L^2$ liegt ;-)   ─   crystalmath 30.03.2023 um 20:14
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Und du meinst anscheinend, das ist trivial für jemanden, für den $L^2$ ein ganz neuer Begriff ist?   ─   mikn 30.03.2023 um 20:31
Tatsächlich finde ich es seltsam, über Regularität von Fouriertransformieren fragen zu stellen, ohne dabei $L^2$ (und vielleicht auch nicht $L^1$) zu kennen. Aber ja, da OP das anscheinend wirklich nicht weiß, ist die Frage tatsächlich "Was ist $L^2$" statt über irgendwas mit Fourieranalysis. Insofern: Ja, du hast Recht ,das Problem liegt ganz wo anders.   ─   crystalmath 02.04.2023 um 16:22

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Ich gebe mal eine präzisere Antwort. Falls $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ ist, so ist die Fouriertransformierte immer stetig. Jetzt ist also deine Aufgabe, eine Funktion zu finden, die in $L^2(\mathbb{R}) \setminus L^1(\mathbb{R})$ ist. Solche Funktionen sind gute Kandidaten.

Ich gebe dir noch einen Tipp: Starte doch mal mit einer unstetigen Funktion (symmetrische Indikatorfunktionen eignen sich besonders gut) und berechne ihre Fouriertransformierte. Jetzt berechne doch mal ihre Fourierinversion - was fällt dir auf?

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Ich glaube ich weiß worauf du hinaus willst. 1(-1,1) liegt nicht in L1. DIe Fourier davon ist Sin(x)/x. Sin(x)/x liegt aber in L2. Heißt also Sin(x)/x würde funktionieren...   ─   user372b61 30.03.2023 um 18:34
:-) Vielleicht tut es das ja, wobei du leider einen Fehler schon gemacht hast: Die Indikatorfunktion von (-1,1) liegt in $L^1$, aber diese Funktionen ist nicht direkt das Beispiel was du suchst. Berechnet doch mal die Fouriertransformierte von sin(x)/x und schau was dabei rauskommt!   ─   crystalmath 30.03.2023 um 18:52

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