Beweis Gruppe

Aufrufe: 40     Aktiv: 02.06.2021 um 17:57

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Beweise, dass die Struktur ( F; o ) bestehend aus der Menge F = { f1; f2; f3; f4 } der folgenden vier Funktionen mit der Operation o der Nacheinanderausführung dieser Funktionen eine Gruppe ist:

f1 (x) = x
f2 (x) = 1 / x
f3 (x) = – x
f4 (x) = – 1 / x

Ich müsste ja jetzt die Gruppeneigenschaften Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrales Element und inverses Element beweisen. 
Aber da fängt schon mein Problem an. Will ich jetzt die Abgeschlossenheit beweisen, müsste ich zeigen, dass die Verknüpfung zweier Funktionen wieder in der Menge F ist. Aber wie verknüpft man denn überhaupt zwei Funktionen miteinander?

Über Hilfe bin ich sehr dankbar!
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1 Antwort
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Richtig, so wie du sagst, zeigt man die Abgeschlossenheit.  Aus der Aufgabe geht hervor, dass die Komposition die Verknüpfung ist, also z.B. \(f_1(f_2(x))=\frac 1x=f_2\). Mach da jetzt mal weiter mit der nächsten Funktion
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Also wäre dann:
f2(f3(x)) = -1/x = f4

f3(f4(x)) = 1/x = f2

f4(f1(x)) = -1/x = f4

f1(f4(x)) = -1/x = f4

Aber was wäre dann f2(f4(x))?

Ich komme da auf f2(f4(x)) = 1/(-1/x), aber das wäre dann doch kein Element von F? Oder habe ich das falsch gerechnet?
  ─   usera70f42 02.06.2021 um 16:36

Das kannst du ja noch vereinfachen. \(\frac1{-\frac1x}=-x=f_3(x)\)   ─   stal 02.06.2021 um 17:56

Alles richtig, es ist \(\frac 1 {- \frac 1 x} = -x=f_3(x)\)   ─   mathejean 02.06.2021 um 17:57

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