Warum ist jedes Ideal des Rings Z ein Hauptideal?

Aufrufe: 334     Aktiv: 20.04.2023 um 16:52
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Sei \(I\subseteq \mathbb{Z}\) ein Ideal. OBdA \(I \not =0\). Sei \(M=\{|x| : x \in I-\{0\}\}\subseteq \mathbb {N} \). Dann ist \(M\not =\emptyset\), Wahlordnung der natürlichen Zahlen sagt, es gibt ein minimalen Elememt \(|x| \in M\) mit \(x \in I\). Dann ist \(I=(x)\), wende Divisionsalgorithmus an.
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Moin,
das liegt daran, dass $\mathbb{Z}$ ein Hauptidealring ist. Das kann man z.B. mit dem Lemma von Bezout zeigen. Das besagt, dass man für $a,b \in \mathbb{N}$ $x_1,x_2\in\mathbb{Z}$ finden kann, s.d. $$\gcd({a,b})=x_1*a+x_2*b$$Daraus folgt dann induktiv, dass es für eine beliebige Menge natürlicher Zahlen $a_1,a_2,...,a_n$ gilt, dass$$(a_1,a_2,...,a_n)=(\gcd(a_1,...,a_n))$$also von genau einem Element erzeugt.
LG
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Alles klar! Vielen Dank!   ─   tryingtounderstandsomething 17.04.2023 um 11:40

Leider ist der Beweis falsch/unvollständig, es ist a priori nicht klar, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist   ─   mathejean 17.04.2023 um 17:55

Ich habe auch nie behauptet, einen vollständigen Beweis angegeben zu haben   ─   fix 17.04.2023 um 20:14

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chatgpt kollege
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