Brauche Hilfe bei f^2(x)=16b^2-(b^4/4)?

Erste Frage Aufrufe: 183     Aktiv: 08.09.2023 um 08:21

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Guten Abend allerseits!

Ich habe in meinem Mathe-LK eine Aufgabe bekommen, bei der ich gerade ein paar Schwierigkeiten habe... Ich habe mal ein Bild von der Aufgabenstellung hinzugefügt.

Jedenfalls haben wir schon die Hauptbedingung für die Querschnittsfläche aufgestellt, welche wie folgt lautet: A (b, h) = b * h.
Die Nebenbedingung wurde dann durch den Satz des Pythagoras festgestellt: (b/2)² + h² = 4².

Meine erste Frage liegt dann auch schon bei der Nebenbedingung, da mir nicht klar ist, wie man denn auf die 4 kommt. Ich nehme an die b/2 kommen von der Grundseite b, welche man halbiert hat, das h kommt einfach von der Höhe h und alles steht im Quadrat, da wir den Satz des Pythagoras angewendet haben. Aber wieso wir da die 4 aufgeschrieben leuchtet mir nicht wirklich auf.

Wenn man jetzt die Nebenbedingung umformt und die Wurzel zieht, erhält man dann: h = +(-)√(4² - (b² / 4)).
Damit hätten wir schon das h aus der Hauptbedingung und können dieses einsetzen: A (b) = b * √(16 - (b² / 4)).

Anschließend nehmen wir noch das b unter die Wurzel: A (b) = √(16 - (b² / 4) * b²).
Und dann lösen wir die Klammern noch auf: A (b) = √(16 * b² - (b⁴/4).

Zum Schluss haben wir im Unterricht noch die Wurzel aufgelöst mit | ( )² und das sieht dann so aus: A² (b) = 16 b² - (b⁴/4).

Mein größtes Problem liegt jetzt dabei, dass ich nicht weiß was das A²(b) heißt. Ist das einfach die Fläche von diesem Rechteck zum Quadrat oder muss ich mir das wie eine Funktion vorstellen.
Zusätzlich weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll, um die Querschnittsfläche zu berechnen.

Mein Lehrer fragte in die Runde, wer sich zutraut diese Aufgabe fortzuführen und ich hatte in der Schule schon eine Idee und wusste auch schon wie ich es machen soll. Leider habe ich diesen Gedanken vergessen und es fällt mir jetzt zuhause irgendwie schwer auf eine Lösung zu kommen ;)

Ich würde mich riesig über jede Hilfe freuen, da ich das eigentlich in der nächsten Stunde vorstellen wollte...
Falls oben etwas falsch sein sollte gebt bitte Bescheid. Danke schonmal im voraus.

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Herzlich Willkommen auf mathefragen.de!

Sehr schöne erste Frage. Aufgabe gepostet, eigene Gedanken mitgeliefert und dargelegt wo das Problem liegt. Dann folgt auch prompt eine Antwort.

Neue Frager und auch Helfer (@skraus2) sind immer willkommen!
  ─   maqu 08.09.2023 um 08:21
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Die von dir aufgestellte Hauptbedingung und Nebenbedingung ist korrekt.

Der Tunnel hat einen halbkreisförmigen Querschnitt mit einem Durchmesser d von 8m. Das bedeutet, dass der Radius des Halbkreises r 4m beträgt, da d=2*r gilt. Dieser Radius bildet die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, das durch die Breite und Höhe des Durchgangs gebildet wird, weshalb der Satz des Pythagoras angewendet wird.

Die folgenden Umfromungen sind auch richtig. Du erhältst A²(b), weil ihr die Gleichung Quadriert habt. Vermutlich habt ihr das getan, um den Wurzelausdruck zu eliminieren und die Bildung der Ableitung zu vereinfachen.

Um die maximale Querschnittsfläche zu berechnen, musst du nun die Ableitung von A²(b) bestimmen und sie gleich null setzen, um die Extremstellen zu finden. Danach kannst du mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechsel überprüfen, ob die gefundene Extremstelle tatsächlich ein Maximum ist. Zum Schluss kannst du dann den Wert von b, bei dem das Maximum auftritt in die ursprüngliche Funktion A(b) einsetzen, um die maximale Querschnittsfläche zu erhalten.

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