Potenzieren Komplexe Zahl in kartesischer Form

Aufrufe: 81     Aktiv: 02.07.2022 um 17:29

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Hallo,

wie gehe ich vor, wenn ich

z = (x+yi)^10 potentzieren soll?

Ich möchte das gerne in dieser Ausdrucksschreibweise potenzieren. Dass es Möglichkeiten gibt, in welchen ich die Form ändern kann bzw durch Umstellung das Ganze vereinfachen könnte, ist mir bewusst. Wie gehe ich aber bei deiser Form vor?

Danke vorab
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2 Antworten
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Vermutlich fragst du so spezifisch, weil du den Satz von Moivre schon kennst aber nicht anwenden willst, da du dort umstellen musst. Wenn du nichts ändern willst, heißt das, dass du stur ausrechnen willst.
Dafür betrachte das Pascalsche Dreieck und kopiere die 10te Zeile, da diese \((a+b)^{10}\) entspricht. Setzte von Links \(x^n\) in absteigender Reihenfolge ein, \(iy\) in Aufsteigender ein und sammel alle \(i^{2n}\) Potenzen wieder zusammen, sodass du eine alternierende Formel für den Realteil bekommst. Die Terme mit \(i\) musst du auch wieder zusammenfassen.
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Genau, der Satz von Moivre ist mir bekannt. Diese Weise scheint mir doch etwas zu komplex, ich danke jedoch für die Erklärung.   ─   kunstformen 02.07.2022 um 17:29

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Genauso wie Du auch im reellen rechnen würdest (beachte: es gelten die gleichen Rechenregeln).
Also genau wie Du auch $(a+b)^n$ rechnen würdest, mit dem Binomischen Lehrsatz (Verallgemeinerung der binomischen Formeln): $(a+b)^n=\sum....$.
Spätestens danach wirst Du sehen, welchen Vorteil die Umwandlung in Polardarstellung hat.
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Danke für die Erklärung. Tatsächlich habe ich erkannt, dass eine Umwandlung in diesem Falle definitiv praktischer ist.   ─   kunstformen 02.07.2022 um 17:28

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