Hallo Zusammen ich hätte folgende Aufgabe:

Sei \(A\) eine symmetrische (n x n)-Matrix mit reellen Einträgen. Wir definieren \(g:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}\) durch \(g(x)=\langle x, Ax\rangle\). Sei \(S=\{x\in \mathbb{R}^n| |x|=1\}\) und sei \(v\in S\) ein Maximum für die Einschränkung von g auf S. Zeigen sie mit den Lagrange multiplikatoren, dass \(v\) ein Eigenvektor von \(A\) ist.

Leider habe ich nur mal einen Anfang und wäre euch dankbar wenn ihr mir einen Tipp geben könntet. 

Also wir wissen, dass wir zeigen müssen, dass \(\exists \lambda: Av=\lambda v\). Ich definiere \(f(x)=\sum_{i=1}^n (x_i)-1=0, x \in \mathbb{R}^n\). Wir bemerken, dass per definition \(f(v)=0\). Zusätzlich gilt \(\nabla f(x)=(1_1,1_2,...,1_n) \neq 0 \forall x \in \mathbb{R}^n\) (also gilt das auch für v). Der Satz von Lagrange sagt uns nun, dass \(\exists \lambda: \nabla g|_S(v)=\lambda \nabla f(v)=(\lambda_1,...,\lambda_n)\). Ich habe nun versucht den Gradienten von \(g|_S(v)\) zu berechnen, jedoch kam ich da auf nichts schönes, bzw sah es für mich ein wenig falsch aus. Daher wollte ich fragen ob mir echt jemand einen Tipp geben könnte, bzw vielleicht ist auch dieser Teil schon ganz falsch und ich hätte anders anfangen sollen.

Vielen Dank für eure Hilfe.