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Hallo Zusammen ich hätte folgende Aufgabe:

Sei \(A\) eine symmetrische (n x n)-Matrix mit reellen Einträgen. Wir definieren \(g:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}\) durch \(g(x)=\langle x, Ax\rangle\). Sei \(S=\{x\in \mathbb{R}^n| |x|=1\}\) und sei \(v\in S\) ein Maximum für die Einschränkung von g auf S. Zeigen sie mit den Lagrange multiplikatoren, dass \(v\) ein Eigenvektor von \(A\) ist.

Leider habe ich nur mal einen Anfang und wäre euch dankbar wenn ihr mir einen Tipp geben könntet. 

Also wir wissen, dass wir zeigen müssen, dass \(\exists \lambda: Av=\lambda v\). Ich definiere \(f(x)=\sum_{i=1}^n (x_i)-1=0, x \in \mathbb{R}^n\). Wir bemerken, dass per definition \(f(v)=0\). Zusätzlich gilt \(\nabla f(x)=(1_1,1_2,...,1_n) \neq 0 \forall x \in \mathbb{R}^n\) (also gilt das auch für v). Der Satz von Lagrange sagt uns nun, dass \(\exists \lambda: \nabla g|_S(v)=\lambda \nabla f(v)=(\lambda_1,...,\lambda_n)\). Ich habe nun versucht den Gradienten von \(g|_S(v)\) zu berechnen, jedoch kam ich da auf nichts schönes, bzw sah es für mich ein wenig falsch aus. Daher wollte ich fragen ob mir echt jemand einen Tipp geben könnte, bzw vielleicht ist auch dieser Teil schon ganz falsch und ich hätte anders anfangen sollen.

Vielen Dank für eure Hilfe.
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Student, Punkte: 1.95K

 
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1 Antwort
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Fang nicht mit dem EV an, das ist ja erst das Endergebnis.
Zu lösen ist das Extremwertproblem \(g(x)=(x,Ax)=x^TAx\) (soll extremal werden) unter der NB \(\|x\|-1=0\). Letzteres ist aber die 2-Norm, sonst haut es nicht hin, und die 2-Norm ist ja auch schön differenzierbar. Wir schreiben die NB noch äquivalent um: \(0=\|x\|^2-1=:f(x)\).
So, nun fehlt nur noch \(\nabla g\) und \(\nabla f\). Letzteres ist aber nur ein Spezialfall von \(\nabla g\) mit \(A:=I\).
Bleibt also: \(\nabla g=?\). Ergebnis ist, verrate ich mal, \(\nabla g(x)=2Ax\), da \(A\) symmetrisch ist. Versuch das mal herzuleiten.
Damit steht die Beh. sofort da.
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ah okei vielen Dank. Ja das habe ich nun hingekriegt aber nur da ein TA mal angetönt hat dass ableiten nach einem Vektor gleich funktioniert wie ableiten nach einer Zahl, also wenn M eine Matrix ist dann ist die Ableitung von Mx nach dem Vektor x einfach nur M. Nun sehe ich das aber nicht ganz ein, also heisst das wenn ich hier nach x ableite, dass ich dann nicht n mal partiell ableite sondern direkt nach allen \(x_i, 1\leq i \leq n\) ableite, denn irgendwie würde es nur dann Sinn machen.   ─   karate 26.04.2021 um 23:45

super vielen Dank
  ─   karate 27.04.2021 um 13:19

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