Eine Variable zweier (Gewinn-)Funktion berechnen

Aufrufe: 386     Aktiv: 30.03.2021 um 08:34
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Die Aufgabe ist Folgende:
Es gibt zwei Anbieter auf einem Markt. Wenn beide Werbung machen, ziehen sie Kunden für sich und für das andere Unternehmen an. Die Gewinnfunktion für Unternehmen 1 sei (45 + x2)x1 - 2x21. Die Gewinnfunktion für Unternehmen 2 sei (90 + x1)x2 - 2x22. Sei x1 und x2 die Werbeausgaben von Unternehmen 1, bzw. 2. Nehmen Sie an, dass jedes Unternehmen seine Werbeausgaben unabhängig von der Entscheidung des anderen Unternehmens setzt (wie im Nash-Gleichgewicht). Wie hoch sollten die Werbeausgaben des Unternehmen 1 sein?

Die Antwort habe ich, um zu kontrollieren ob mein Ergebnis stimmt: $18

Allerdings komme ich nicht mal auf ein Ergebnis. Ich dachte man kann bei zwei Gleichungen mit min. zwei unbekannten Variablen so wie bei linearen GS rechnen, bis ich dann den Wert für x1 habe.
Aber das funktioniert hier glaube ich aufgrund der Klammer nicht(?). Welches Verfahren kann ich hier anwenden, um an das Ergebnis zu kommen?

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Du bildest ganz einfach (wie üblich) \(G_1´ =0 \text { und } G_2´=0\) dann hast du 2 Gleichungen mit den Unbekannzen x_1 und x_2, die leicht auflösbar sind.
\(x_1=18; x_2=27 \) 
\(G_1´= 45+x_2 -4x_1 =0 ; G_2´= 90+x_1-4x_1=0 ==> 45+x_2-4x_1= 90 +x_1-4x_2 ==> 5x_2=45+5x_1 ==> x_2 =9+x_1\) 
Wenn du jetzt \(x_2 in G_1´ \text { einsetzt, erhältst du } x_1\)
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