Hallo!

Nun, wenden wir doch einfach mal die Regel an sich an:

\(\displaystyle  \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \underbrace{\frac{f'(x)}{g'(x)}}_{=\frac{0}{0}} = \cdots = \lim_{x\to x_0} \frac{f^{(n+1)}(x)}{g^{(n+1)}(x)}\).

Nun zu der Aufgabe:

Wenn wir \(\displaystyle \frac{1-\cos(2x)}{2} = \sin^2(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1-\cos(x)}{2} = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \) ist und damit den Ausdruck zu

\(\displaystyle  \frac{2\sqrt{1-x\sin(x)}}{1-\cos(x)} - \frac{2\cos(x)}{1-\cos(x)}\) umschreiben und hier einfach einmal ableiten und sehen, dass dann damit \(\displaystyle  \lim_{x\to 0} 1+\sin(x) \neq 0\) (für den Nenner) gilt und wir somit sehen, dass tatsächlich nach einmal ableiten wir die obige Bedingung haben und dann die die Regel von L'Hospital anwenden, so sehen wir, dass der Grenzwert verschwindet.

Gruß.