Hallo Community!

Es geht um die Herleitung des Skalarprodukt. Ich habe mir folgendes überlegt:

Durch zweifache Anwendung des Satz des Pythagoras leite ich zunächst die Definition des Vektorbetrages her. 
Nun kann ich das Produkt des Vektorbetrages mit sich selbst probieren und komme auf: |a|*|a|=a1^2+a2^2+a3^2 (im 3D)
Hier lösche ich quasi die Wurzel. Das wäre ja das Skalarprodukt vom Vektor a mit sich selbst. 


Was ist aber wenn ich zwei verschiedene Vektorbeträge miteinander multipliziere? Da habe ich ja zwei Wurzeln... Ich hoffe ihr wisst was ich meine. 
Kann jemand helfen und hat eine Idee wie ich an dieser Stelle weiterkommen könnte?

PS.: Bitte keine Alternativen, wie ich das Skalarprodukt anders herleiten könnte. Vielen Dank für jede Antwort!