Wahrscheinlichkeit berechnen von dem Weg eines Roboters

Erste Frage Aufrufe: 407     Aktiv: 17.04.2023 um 10:20

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Hallo, ich beschäftige mich mit dieser Aufgabe.
 
Ein Mähroboter bewegt sich im rechtwinkligen Koordinatensystem. In jeder Sekunde bewegt er sich entweder um eine Einheit in positiver x-Richtung oder um eine Einheit in positiver y-Richtung. Jede der beiden Bewegungen hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. Startend im Nullpunkt, welche ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Roboter nach 15 Sekunden im Punkt (6|9) befindet?
 
Mein Ansatz wäre:
Um den Punkt (6|9) nach 15 Sekunden zu erreichen, muss der Roboter 6 Einheiten in positiver x-Richtung und 9 Einheiten in positiver y-Richtung bewegen. Da die Bewegungen zufällig und gleich wahrscheinlich sind, ist die Anzahl der Möglichkeiten, den Punkt zu erreichen, gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 6 x-Bewegungen und 9 y-Bewegungen in beliebiger Reihenfolge anzuordnen.
 
Die Gesamtzahl der möglichen Bewegungen nach 15 Sekunden beträgt 15 (entweder 15 x-Bewegungen oder 15 y-Bewegungen oder eine beliebige Kombination von x- und y-Bewegungen). Daher ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten, 6 x-Bewegungen und 9 y-Bewegungen anzuordnen, gleich:
 
C(15,6) = 5005
 
wobei C(n,k) die Anzahl der Kombinationen von k Elementen aus einer Menge von n Elementen angibt.
 
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Roboter nach 15 Sekunden den Punkt (6|9) erreicht, ist das Verhältnis der Anzahl der Möglichkeiten, den Punkt zu erreichen, zur Gesamtzahl der möglichen Bewegungen:
 
P = C(15,6) / 2^15 ≈ 0,1527
 
wobei 2^15 die Gesamtzahl der möglichen Bewegungen angibt, da es für jede der 15 Sekunden 2 Möglichkeiten (x-Bewegung oder y-Bewegung) gibt.
 
Kann man das so machen oder liege ich komplett daneben?

EDIT vom 17.04.2023 um 10:20:

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Besser hätte man das fast nicht lösen können. Sehr schön. :)
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