Erstmal ein bisschen umformen:

\(f(x)=(\frac {1+x} {x})^n=(\frac {1} {x} + \frac {x} {x})^n= (x^{-1} + 1)^n\)

Und jetzt die Kettenregel drüber laufen lassen.

\(u(x)=x^{-1}+1\)

\(u'(x)=-x^{-2}\)

\(v(u)=u^n\)

\(v'(u)=n*u^{n-1}\)

Ergibt:

\(f'(x)=v'(u)*u'(x)=n*u^{n-1}*(-x^{-2})=-\frac {n(x^{-1}+1)^{n-1}} {x^2} \)

Du kannst zum Beispiel die Kettenregel verwenden, oder du schreibst es dir um zu

\(y=\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^n=\dfrac{(1+x)^n}{x^n}\)

und verwendest die Quotientenregel.

Mit der Kettenregel kommst du auf

\(y'=\left(\dfrac{x+1}{x}\right)'\cdot n\cdot\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^{n-1}\)

\(\dots\)

\(y'=-\dfrac{n}{x^2}\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^{n-1}\)