Du musst hier einfach das konkrete \(f\) in die Definition von \( U_f(Z) \) und \( O_f(Z) \) einsetzen und ein bisschen rumrechnen.

Beispielsweise ist

\( U_f(Z) \) \( = \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) \inf_{x_{k-1} < x < x_k} (x+3) \) \( = \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) (x_{k-1}+3) \) \( = \sum_{k=1}^n [(x_k - x_{k-1})x_{k-1}] + 3 \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) \) \( = \sum_{k=1}^n [(x_k - x_{k-1})x_{k-1}] + 3(x_n - x_0) \) \( = \sum_{k=1}^n [(x_k - x_{k-1})x_{k-1}] + 3(b-a) \)

Mit

\( \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})x_k \) \( \ge \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1})\frac{1}{2}(x_k + x_{k-1}) \) \( = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1})(x_k + x_{k-1}) \) \( = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n x_k^2 - x_{k-1}^2 \) \( = \frac{1}{2}(x_n^2 - x_0^2) \) \( = \frac{1}{2}(b^2 - a^2) \)

und

\( \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1})(x_{k-1}-x_k) \) \( \ge \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1})(-\mu(Z)) \) \( = - \mu(Z) \sum_{k=1}^n (x_k - x_{k-1}) \) \( = - \mu(Z) (x_n - x_0) \) \( = - \mu(Z) (b-a) \)

(wobei \( \mu(Z) = \max_{1 \le k \le n} (x_k - x_{k-1}) \) ist)

kommt man dann zu folgender Abschätzung

\( U_f(Z) \) \( = \sum_{k=1}^n [(x_k - x_{k-1})x_{k-1}] + 3(b-a) \) \( = \sum_{k=1}^n [(x_k - x_{k-1})x_k] + \sum_{k=1}^n [(x_k - x_{k-1})(x_{k-1}-x_k)] + 3(b-a) \) \( \ge \frac{1}{2}(b^2-a^2) - \mu(Z)(b-a) + 3(b-a) \)

Also erhalten wir

\( \sup_Z(U_f(Z)) \ge \frac{1}{2}(b^2-a^2) + 3(b-a) \)

Den Fall für die Obersumme kannst du jetzt mal selbst versuchen. Der läuft im Prinzip analog.