Extremstellen bestimmen ohne zweite Ableitung

Aufrufe: 806     Aktiv: 27.02.2020 um 19:00

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Guten Morgen liebe Mathefreunde,

das Thema Kurvendiskussion war für mich immer eine harte Nuss, dennoch möchte ich es endlich verstehen und umsetzen können. Für folgende Funktion sollen die relativen und absoluten Extrema bestimmt werden ohne Verwendung der zweiten Ableitung:

\(f(x) = \frac{e^{a/x}}{a^2+x^2}\)

Gibt es eurer Meinung nach ein "Kochrezept" mit dem man diese einfach bestimmen kann?

Folgendes habe ich bisher immer angewandt:

  1. Definitionsbereich bestimmen
  2. Symmetrie bestimmen
  3. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen

Danach weiß ich selten was ich genau jetzt machen soll? Schaue ich mir diverse Lösungen von Aufgaben an wird of das Randverwalten geprüft und anhand dieser Kenntnis stellen die meisten dann ihre Lösung zusammen. Da habe ich noch nicht ganz den Zusammenhang verstanden.

Ich würde mich freuen, wenn mir da jemand etwas Licht ins Dunkel leuchten kann. Sollten meine bisherigen Schritte falsch sein, bitte korrigiert mich!

Ich danke euch im Voraus!

 

 

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Hallo davido, 

deine Schritte gehen in die richtige Richtung. Den Definitionsbereich zu bestimmen ist grundsätzlich sinnvoll, da du so überprüfen kannst, ob die gefundenen Extremstellen überhaupt in Definitionsbereich liegen. 

Die Symmetrie musst du nicht zwingend untersuchen. Da dir das aber ja nur was bringt, wenn die Funktion eine Symmetrie aufweist, würde ich zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen. Sollten die Nullstellen symmetrisch um die Null liegen, dann kannst du dir die Symmetrie von \( f(x) \) anschauen. 

Jetzt zur eigentlichen Frage: Die zweite Ableitung benötigst du ja, um zu bestimmen, ob ein Maximum, eine Minimum, oder ein Treppenpunkt vorliegt. Das kannst du auch über die das Vorzeichen erste Ableitung machen. Bei einem Extrempunkt wechselt nämlich die Steigung ihr Vorzeichen. D.h. vor dem Maximum muss die Funktion steigen, danach fallen, also die erste Ableitung von + zu - wechseln. Beim Mininum ist es genau anders herum. Bei einem Treppenpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht, denn die Funktion steigt bzw. fällt ja vor und nach dem Treppenpunkt. Ich hoffe das hilft ;)

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