Sei (G, ∗) eine Gruppe mit neutralem Element e und M ⊆ G eine Teilmenge. Wir definieren [M] := {e} ∪ {g1 ∗ g2 ∗ ··· ∗ gn |für jedes i ∈ {1, 2, . . . , n} ist gi ∈ M oder gi ] ∈ M}, wobei n ein beliebiges Element von N ∗ = N\{0} sein kann. Beachten Sie, dass wir Klammern im Ausdruck g1 ∗ g2 ∗··· ∗ gn wegen der Assoziativität weglassen können. (a) (6 Punkte) Zeigen Sie, dass [M] eine Untergruppe von G ist. (b) (6 Punkte) Zeigen Sie [M] ⊆ H für eine beliebige Untergruppe H von G mit M ⊆ H. Folgern Sie, dass [M] = 〈M〉 gilt, wobei 〈M〉 die erzeugte Untergruppe aus Definition 2.3.10 ist. Hinweis: Die Notation [M] ist nicht standard und wurde nur für den Zweck dieser Aufgabe eingeführt. Nachdem wir Teilaufgabe (b) gezeigt haben, können wir die Notation [M] wieder vergessen und stattdessen 〈M〉 schreiben.