Eigenschaften algebraischer Strukturen

Aufrufe: 49     Aktiv: 22.04.2021 um 14:14

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Ich habe eine Aufgabe, bei der ich Eigenschaften von algebraischen Strukturen herausfinden soll. Zum Beispiel habe ich die  Verknüpfung (2N, +) (also die Menge der geraden Zahlen und Plus). Zuerst einmal muss ich ja begründen, dass es überhaupt eine algebraische Struktur ist, was voraussetzt, dass Abgeschlossenheit vorliegt. Dann muss ich noch auf Assoziativität, Kommutativität, neutrales Element und inverse Elemente prüfen. Ich habe das jetzt so gemacht:



Meine Frage ist jetzt: reicht es, die Eigenschaften so zu begründen? Ich weiß nur, dass wenn eine Eigenschaft nicht vorliegt, ein Gegenbeispiel genügt, aber wie ist das, wenn die Eigenschaft gilt?
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1 Antwort
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Deine Resultate sind alle korrekt (vorausgesetzt ihr arbeitet mit der Konvention \(0\notin\mathbb N\)), allerdings reicht es, um eine Aussage zu zeigen, nicht aus, ein Beispiel dafür zu geben. Die Abgeschlossenheit kannst du z.B. so zeigen:

Seien \(x,y\in2\mathbb N\), dann gibt es \(n,m\in\mathbb N\), sodass \(x=2n,y=2m\). Dann ist \(x+y=2n+2m=2(n+m)\in2\mathbb N\). Also hast du gezeigt, dass die Summe von zwei Zahlen in \(2\mathbb N\) wieder in \(2\mathbb N\) liegt, was ja gerade die Behauptung war.

Für die Assoziativität und Kommutativität ist auch ein Beweis nötig. Wenn du schon weißt, dass das auf \(\mathbb N\) gilt, ist das einfach: Du kannst einfach sagen, dass \(2\mathbb N\subseteq\mathbb N\) und deshalb diese Eigenschaften auch für alle geraden natürlichen Zahlen gelten, wenn sie für alle natürlichen Zahlen gelten. Wenn du nicht weißt, dass \((\mathbb N,+)\) kommutativ und assoziativ ist, müsstest du das aus irgendwelchen Axiomen beweisen, das hängt dann stark davon ab, wie ihr die natürlichen Zahlen definiert habt. Vielleicht nehmt ihr es aber auch gar nicht so genau und die Gesetze auf \(\mathbb N\) werden einfach als bekannt vorausgesetzt, dann reicht es natürlich auch, die lediglich anzugeben.
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Vielen Dank für die Antwort. Wären die Beweise für die Assoziativität und Kommutativität dann so richtig?

Assoziativität:
Seien x, y, z ∈ 2N, dann gibt es n, m, o ∈ N, sodass x = 2n, y = 2m und z = 2o.

Dann ist
(x+y)+z = x+(y+z)

=(2n +2m) +2o = 2n + (2m + 2o)

=2((n+m)+o) = 2(n+(m+o))

Somit ist die Assoziativität, die in N gegeben ist, auch in 2N gegeben,


Kommutativität:

Seien x, y ∈ 2N, dann gibt es n, m ∈ N, sodass x = 2n, y = 2m.

Dann ist
x + y = y + x

= 2n + 2m = 2m + 2n

=2(n + m) = 2(m + n)

Somit ist Kommutativität, die in N gegeben ist, auch in 2N gegeben.
  ─   usera70f42 22.04.2021 um 14:03

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Ja, das ist richtig.   ─   stal 22.04.2021 um 14:07

Super, danke!   ─   usera70f42 22.04.2021 um 14:14

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