Deine Resultate sind alle korrekt (vorausgesetzt ihr arbeitet mit der Konvention \(0\notin\mathbb N\)), allerdings reicht es, um eine Aussage zu zeigen, nicht aus, ein Beispiel dafür zu geben. Die Abgeschlossenheit kannst du z.B. so zeigen:

Seien \(x,y\in2\mathbb N\), dann gibt es \(n,m\in\mathbb N\), sodass \(x=2n,y=2m\). Dann ist \(x+y=2n+2m=2(n+m)\in2\mathbb N\). Also hast du gezeigt, dass die Summe von zwei Zahlen in \(2\mathbb N\) wieder in \(2\mathbb N\) liegt, was ja gerade die Behauptung war.

Für die Assoziativität und Kommutativität ist auch ein Beweis nötig. Wenn du schon weißt, dass das auf \(\mathbb N\) gilt, ist das einfach: Du kannst einfach sagen, dass \(2\mathbb N\subseteq\mathbb N\) und deshalb diese Eigenschaften auch für alle geraden natürlichen Zahlen gelten, wenn sie für alle natürlichen Zahlen gelten. Wenn du nicht weißt, dass \((\mathbb N,+)\) kommutativ und assoziativ ist, müsstest du das aus irgendwelchen Axiomen beweisen, das hängt dann stark davon ab, wie ihr die natürlichen Zahlen definiert habt. Vielleicht nehmt ihr es aber auch gar nicht so genau und die Gesetze auf \(\mathbb N\) werden einfach als bekannt vorausgesetzt, dann reicht es natürlich auch, die lediglich anzugeben.