Mehrdimensionale Integrale / Koordinatenwechsel

Aufrufe: 73     Aktiv: 24.07.2021 um 01:13

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In einer Vorlesung von uns ging es um Koordinatenwechsel, bei mehrdimensionalen Integralen. Ich verstehe hierbei aber nicht ganz, warum das ganze transformiert bzw. A* hier ein quadrat ist. Wie man die Grenzen imer folgenden wählt um den Flächeninhalt auszurechnen etc. ist mir klar. Nur warum das ganze ein rechteck ist nicht so ganz. Ich würde das gerne verstehen, damit ich mir bestimmte Grenzen nicht immer merken muss, sie selber "herleiten" kann. Danke schonmal im vorraus :)
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Die Frage hat mit Integralen erstmal gar nichts zu tun.
Es geht hier um die Transformation eines Gebiets (Kreisscheibe) in ein anderes. Wie diese andere aussieht, ergibt sich aus der angegebenen Transformationsvorschrift.
Man fragt sich: wo läuft \(r\), wenn \(\binom{r\cos \varphi}{r\sin \varphi}\) in der Kreisscheibe liegt? Antwort: \(r\in [0, R]\).
Genauso mit $\varphi$, Antwort: $\varphi \in [0,2\pi)$.
Ergebnis: der transformierte Bereich ist $[0, R]\times [0,2\pi)$, was erstmal ein Rechteck ist (kein Quadrat) und auch kein vollständiges Rechteck, denn der obere Rand des Rechtecks gehört nicht dazu.
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Die Abbildung (im Bild) geht von rechts nach links. Links betrachtest du den Bereich $[0,R]\times[0,2\pi)$ (das ist offensichtlich ein Rechteck) und deine Koordinatenwechsel-Abbildung ist gegeben als

$$[0,R]\times[0,2\pi)\to A,\ (r,\varphi) \mapsto \begin{pmatrix} r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\end{pmatrix}$$

Die Abbildung macht ersichtlich aus deinem Rechteck eine kreisförmige Scheibe. Wenn du dir damit schwertust, nimm lieber ein einfacheres Beispiel, z.B. das einer parametrisierten Kurve dessen Bild den Einheitskreis liefert, d.h. 

$$\gamma\colon[0,2\pi) \to \mathbb{R}^2, t\mapsto \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t\end{pmatrix}$$

Hier wird das Bild einer "Linie" (das Intervall $[0,2\pi)$ eben) in $\mathbb{R}^2$ zum Kreis.

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