Obere und untere Schranke, Lösung

Aufrufe: 1136     Aktiv: 08.10.2020 um 15:48

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Hallo,

kann mir jemand erklären, warum hier in der Lösung s₀=a₀ aber nicht s₁=a₁ ist, sondern s₁=s₀-a₁ ??

Lg, kamil

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Hallo,

\( s_i \) steht für die i-te Partialsumme der Folge \( a_k \). Also

$$ s_n = \sum\limits_{k=0}^n a_k $$

mit 

$$ a_k = (-1)^k  \frac {k+1} {(k+2)(k+3)} $$

Damit ist \( s_0 \) die Reihe bis \( n=0 \) und \( s_1 \) die Reihe bis \( n=1 \). 

Also

$$ s_0 = \sum\limits_{k=0}^0 (-1)^k \frac {k+1} {(k+2)(k+3)} = (-1)^0 \frac 1 {2\cdot 3} = \frac 1 6 $$

und

$$ s_1 = \sum\limits_{k=0}^1 (-1)^k \frac {k+1} {(k+2)(k+3)} = (-1)^0 \frac 1 {2 \cdot 3} + (-1)^k \frac 2 {3 \cdot 4} = \frac 1 6 - \frac 1 6 = 0 $$

Den Wert 

$$ a_1 = (-1)^1 \frac 2 {3\cdot 4 } = - \frac 1 6 $$

könnten wir auch nehmen, ist aber schon um einiges kleiner als der Wert Null. 

Grüße Christian

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Hii! Wofür könnten wie denn den Wert a₁=-1/6 nehmen?   ─   kamil 05.10.2020 um 18:53

Als untere Schranke.   ─   christian_strack 06.10.2020 um 09:45

Aber in der Aufgabe steht "Sei s der Grenzwert der Reihe". Kann ich dann einfach so a1 nehmen? Und die obere Schranke wäre dann s2=1/6 ? Ist das richtig?   ─   kamil 06.10.2020 um 15:34

Du musst das natürlich begründen. Das könnten wir folgendermaßen machen:
Wir haben eine alternierende Koeffizientenfolge. Der Betrag der Koeffizientenfolge ist monoton fallend. Deshalb addieren wir erst einen Wert. Dann ziehen wir einen Wert ab der gleich oder kleiner ist. Dann addieren wir etwas drauf was gleich oder kleiner ist als das was wir abgezogen haben. Wir sind hier also auf jeden Fall schon mal kleiner als das erste Folgeglied. Wenn wir jetzt wieder etwas abziehen, das kleiner ist als den letzten draufaddierten Wert, sind wir auf jeden Fall größer als das zweite Folgeglied usw.
Deshalb ist keine Partialsumme größer als der erste Wert und keiner kleiner als der zweite. :)
  ─   christian_strack 06.10.2020 um 17:05

achso \( s_2 = \frac 3 {20} = 0{,}15 \). Das ist also keine obere Schranke. Aber ich denke du meinst \( s_0 = \frac 1 6 \).   ─   christian_strack 06.10.2020 um 17:06

Ich wollte schreiben, "die obere Schranke wäre dann a₂". Was mir gerade immer noch nicht klar ist: Nehme ich jetzt "ak" oder "sn" als die Schranke? Das sind doch zwei verschiedene Terme, abgesehen von dem ersten Term, danach wird aufsummiert, oder? Hier sagst du jetzt, es ist irgendwie ein Mix. Die untere Schranke ist a₁ und die obere ist s₀. Aber muss es nicht einheitlich sein hinsichtlich des Buchstabens? Kann ich mich jetzt entscheiden zwischen ak und sn?   ─   kamil 06.10.2020 um 18:04

Wie du schon sagst, es werden immer kleinere Ausdrücke aufsummiert. Das verstehe ich. a₁=-1/6 als Schranke? Dann müsste man a₀ als obere Schranke nehmen. Oder jetzt s₁ und s₀. Verstehst du was ich meine xD? Kann ich mir jetzt aussuchen, weil es ist beides nicht das gleiche, außer dem ersten s₀=a₀. Aber s₁≠a₁ sondern s₁=s₀-a₁=0≠-1/6   ─   kamil 06.10.2020 um 18:11

Es gibt nicht die eine obere oder untere Schranken.
Eine obere Schranke ist erstmal nur eine Zahl, die größer ist. Jede größere Zahl ist auch eine obere Schranke. Deshalb führt man irgendwann Begriffe wie Infimum und Supremum ein. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke. Das Infimum ist die größte untere Schranke.
Da wir hier aber nur eine einzige Zahl betrachten, macht die Betrachtung des Infimum und Supremums keinen Sinn, denn der Grenzwert selbst ist sowohl Infimum als auch Supremum.

In der Aufgabe wird erstmal nur nach einer oberen und unteren Schranke gefragt. Wir könnten auch als obere Schranke 1000 nehmen und als untere -100000. Da ist erstmal nichts falsches dran. Aber auch hier müssen wir natürlich vernünftig argumentieren. Da wir aber durch die obige Argumentation sehen, dass bereits kein Wert größer wird als unser Startwert und kein Wert kleiner wird als \( s_1 \) nehmen wir natürlich diese Werte als Schranken.
Die Idee hinter dieser Aufgabe ist es ja nur einen Bereich zu finden, der optimaler Weise nicht zu groß ist, in dem unser Grenzwert liegt.
Natürlich hätten wir auch mit \( [-100000,1000] \) ein Intervall gefunden aber damit kann man natürlich nicht vernünftig weiter arbeiten.
  ─   christian_strack 07.10.2020 um 14:19

Also sowohl \( a_1 \), als auch \( s_1 \) sind untere Schranken. Aber umso kleiner das Intervall gewählt wird, desto besser können wir damit arbeiten. Deshalb nemen wir die größere untere Schranke und das ist \( s_1 \).   ─   christian_strack 07.10.2020 um 14:21

Wieso betrachten wir hier nur eine einzige Zahl? Welche Zahl ist das denn? Ist die kleinste obere Schränke nicht 1/6, weil kein anderer Funktionsweet oberhalb dieser Schränke existiert? Ist umgekehrt dann nicht die größte untere Schränke die 0, weil kein Funktionswert unterhalb der 0 existiert?   ─   kamil 07.10.2020 um 14:45

wir suchen doch die Grenzen für den Grenzwert und nicht für die Koeffizientenfolge. Eine obere Schranke \( S \) von \( a \) ist eine Zahl für die gilt
$$ S \geq a $$
eine untere Schranke \( s \) erfüllt
$$ s \leq a $$
Da \( a \) nur eine Zahl ist, ist die kleinste obere schranke gleich der größten unteren. Das ist nämlich der Grenzwert selbst.
  ─   christian_strack 07.10.2020 um 14:55

In der Aufgabe steht: "Sei 's' der Grenzwert der Reihe." Folglich ist s0=1/6 und s1=0 Grenzwert der Reihe. Andererseits ist aber auch der Grenzwert 0, da die Folge gegen 0 konvergiert. Gibt es jetzt laut Aufgabenstellung drei Grenzwerte?

Woher weißt ich , dass die Grenzen für den Grenzwert und nicht für die Koeffizientenfolge gesucht ist?

Ich blicke da immer noch nicht durch xD
  ─   kamil 07.10.2020 um 16:43

Ouh auf die Bezeichnung habe ich nicht geachtet. \( S \) wird häufig wir eine obere Schranke gewählt und \( s \) für eine untere. Fangen wir nochmal von vorne an.
Der Grenzwert einer Reihe ist ja immer(!) eine Zahl. Richtig?
Jetzt kennen wir den Grenzwert nicht, deshalb nennen wir diesen erstmal \( s \).
Was wir mit dieser Aufgabe jetzt schaffen wollen, ist eine Abschätzung des Grenzwertes zu erhalten (auch wenn es nicht direkt so da steht, aber dafür macht man das ganze meistens).
Deshalb suchen wir jetzt eine Zahl die kleiner ist. So einen Wert nennen wir untere Schranke. Zusätzlich suchen wir eine Zahl die größer ist. So eine Zahl nennt man obere Schranke.
Da wir aber ein Intervall finden wollen, mit dem wir den Grenzwert abschätzen können, versuchen wir natürlich betragsmäßig nicht zu große Schranken zu finden. Sonst bringt uns das ganze ja nichts.
Deshalb gucken wir uns die Reihe an.
$$ s_n = \frac 1 6 - \frac 1 6 + \frac 3 {20} - \frac 2 {15} + \ldots + (-1)^n \frac {n+1}{(n+2)(n+3)} $$
Wir sehen, dass der Betrag der Koeffizientenfolge fällt. Da wir zudem eine alternierende Koeffizientenfolge haben, wissen wir das \( s_0 \) der größte Wert der Reihe ist (siehe obige Erklärung). Dann ziehen wir das erste mal etwas ab und erhalten \( s_1 \). Wir wissen, dass es niemals einen kleineren Wert geben kann.
Damit haben wir also ein Intervall gefunden
$$ s \in [s_0, s_1] = [0 , \frac 1 6 ] $$
Zu viel erstmal zu der Lösung. Ist die soweit klar?

Nun nochmal zu deiner Lösung. Du hast die Lösung
$$ s \in [ a_0, a_1 ] = [ - \frac 16 , \frac 16 ] $$
Das ist ja auch richtig. Folgt auch aus der obigen Erklärung. Nur da
$$ [ 0 , \frac 16 ] \subset [- \frac 1 6 , \frac 1 6 ] $$
hast du ein größeres Intervall gefunden. Das ist nicht verkehrt, aber das andere ist eben für die Intention hinter der Aufgabe etwas besser. Beide Lösungen sind aber richtig!!!

Du weißt das die Schranken für den Grenzwert der Reihe gesucht sind weil es dort steht. Ansonsten würde da stehen: Finde eine obere und untere Schranke für die Koeffizientenfolge.
  ─   christian_strack 07.10.2020 um 17:48

Danke. Die Aufgabenstellung irritierte mich echt. "s" ist also nur ein ausgewählter beliebiger Buchstabe für den gesuchten Grenzwert 0 und hat nichts mit dem "Sn" zu tun? Puhh, diese Aufgabenstellung ..   ─   kamil 08.10.2020 um 13:05

Genau \( s \) steht einfach nur stellvertretend für den Grenzwert einer Reihe. Wir haben leider (bis auf ein paar Ausnahmen) nicht die Möglichkeit den Grenzwert einer Reihe zu berechnen. Aber wir können Sie eben durch sowas wie in der Aufgabe abschätzen oder durch Computer approximieren.
Der Grenzwert muss hier auch nicht Null sein. Vermutlich ist er das auch nicht. Man müsste das zeigen, aber ich denke ab \( k=3 \) ist die Koeffizientenfolge streng monoton fallend. Wir ziehen also nie wieder das gleiche ab wie wir schon haben. Aber das ist jetzt eine Vermutung :p

\( s_n \) steht für die Folge der Partialsummen von der Koeffizientenfolge. Das bedeutet, mit
$$ \begin{array}{ccccc} s_0 &=& \sum\limits_{k=0}^0 (-1)^k \frac {k+1}{(k+2)(k+3)} &=& \frac 1 6 \\ s_1 &=& \sum\limits_{k=0}^1 (-1)^k \frac {k+1}{(k+2)(k+3)} &=& 0 \\ s_2 &=& \sum\limits_{k=0}^2 (-1)^k \frac {k+1}{(k+2)(k+3)} &=& \frac 3 {20} \\ s_3 &=& \sum\limits_{k=0}^3 (-1)^k \frac {k+1}{(k+2)(k+3)} &=& \frac 1 {60} \\ & & \vdots \end{array} $$
erhalten wir die Folge
$$ s_n = \{ \frac 16 , 0 , \frac 3 {20} , \frac 1 {60} , \ldots \} $$
So wie wir den Grenzwert einer Folge \( a_n \) mit \( a \) bezeichnen, bezeichnen wir den Grenzwert einer Folge \( s_n \) eben mit \(s \) :)
  ─   christian_strack 08.10.2020 um 15:48

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