Da der Kommentar länger geworden ist, habe ich ihn mal in eine neue Antwort gepackt:
Wir wollen uns das alles an dem drei-dimensionalen Raum anschauen. Es sei \(V_1\) der Vektorraum der Pfeilklassen (wichtig: Das sind Pfeile die im Raum liegen, wir wollen uns diese wirklich als Pfeile vorstellen und nicht als Elemente von \( \mathbb R^3\)). \(V_1\) besitzt eine Vektorraumstruktur durch skalieren der Pfeile und durch aneinanderlegen.
Nun betrachten wir die MENGE \(X=\mathbb R^3\). Diese Menge wird zusammen mit dem Vektorraum \(V_1\) zu einem affinen Raum durch die Abbildung \(X\times V_1\to X\), die einem Punkt \(x\in\mathbb R^3\) und einem Vektor/Pfeil \( v\in V_1\) den Punkt in der Menge \(\mathbb R^3\) zuordnet, den man erhält, wenn man den Pfeil \(v\) an den Punkt \(x\) anlegt.
Dieses Modell eines affinen Unterraums erlaubt uns einen Unterschied zwischen einem Vektor/Pfeil in \( \mathbb R^3\) und einem Punkt in \(\mathbb R^3\) zu machen (dieser Unterschied wird in der Schule manchmal nicht so klar herausgearbeitet). Durch Wahl eines Ursprungs \(o\) in der Menge \(\mathbb{R}^3\) bekommen wir Bijektionen zwischen \(V_1\) und \(X=\mathbb R^3\), indem wir einem Punkt \(x\) seinen Ortsvektor \( \vec{ox}\) zuordnen und indem wir einem Vektor \(v\) den Punkt \(o+v\) zuordnen.
Aufgrund dieser Bijektionen werden affine Räume meistens nicht extra eingeführt. Würde man aber versuchen das Universum mathematisch/physikalisch zu beschreiben, so würde man eher sagen es sei ein affiner Raum, da man Punkte im Raum hat und man mit einer Translation zu einem anderen Punkt kommt. Durch Wahl eines willkürlich gewählten Ursprungs daraus nun einen Vektorraum zu machen wäre hier nicht natürlich.
Man kann nun auch auf der Menge \(\mathbb R^3\) eine Vektorraumstruktur \(V_2\) durch komponentenweise Addition und skalare Multiplikation definieren. Offensichtlich ist dann \(V_2\), nach der Wahl des Ursprungs \( (0,0,0)\in \mathbb R^3\) isomorph zu \(V_1\) , da das aneinanderlegen von Pfeilen genau über komponentenweise Addition definiert ist.
Ich hoffe das beantwortet deine Fragen. Ich denke aber, du musst dir den Kopf nicht zu sehr über solche Feinheiten zerbrechen. Vorallem das Konzept mit affinen Räumen kannst du auch wieder vergessen, wenn es in deiner Vorlesung nicht explizit behandelt wird.

Ich kenne zwar jetzt keine formale Definition für Pfeile, aber hier könntest du als Isomorphismus einfach komponentenweise die Identitätsabbildung verwenden. Ich kenne die Interpretation von Vektoren als Pfeile nur zur besseren Veranschaulichung des Konzeptes, ohne formalen Hintergrund. Später wirst du aber, auch formal, lernen, die Vektoren als Koordinaten der Basisvektoren zu interpretieren.

Die formale Definition deiner Beschreibung läuft unter dem Begriff affiner Raum ( https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space ).

Allgemein ist ein affiner Raum ist eine Menge \(X\) zusammen mit einem Vektorraum \(V\) und einer Abbildung \(X\times V\to X\), geschrieben \((x,v)\mapsto x+v\), mit folgenden Eigenschaften:
(a) Für alle \(x\in X\) und \(u,v\in V\) gilt \( x+(u+v)=(x+u)+v\) .
(b) Fur beliebige \(x,y\in X\) gibt es genau ein \( v\in V\), so dass \(x+v=y\). (Man bezeichnet \(v\) mit \(\vec{xy}\).)
Die durch ein Element \(v\in V\) gegebene Abbildung \(X \to X\), \(x\mapsto x+v\), nennt man Translation.

Hier beschreiben die Elemente von \(X\) genau die Punkte im Raum und die Elemente von \( V\) die Vektoren (bzw. Pfeile). Wahlt man einen Punkt \(o\) von \(X\) als so genannten Ursprung, dann ist die durch \(x\mapsto o+v\) gegebene Abbildung \(V\to X\) bijektiv. Die Umkehrabbildung ordnet jedem Punkt \(x\) seinen Ortsvektor \(\vec{ox}\) zu.
Das ist genau der Isomorphismus, den du in deiner Frage beschrieben hast (dieser hängt aber vom gewählten Ursprung \(o\) ab).
Da man mit einem affinen Raum eigentlich (bis auf Isomorphie) das gleiche Objekt beschreibt, wie mit dem Begriff eines Vektorraums, wird diese formale Unterscheidung häufig weggelassen.