Wir wollen uns das alles an dem drei-dimensionalen Raum anschauen. Es sei \(V_1\) der Vektorraum der Pfeilklassen (wichtig: Das sind Pfeile die im Raum liegen, wir wollen uns diese wirklich als Pfeile vorstellen und nicht als Elemente von \( \mathbb R^3\)). \(V_1\) besitzt eine Vektorraumstruktur durch skalieren der Pfeile und durch aneinanderlegen.
Nun betrachten wir die MENGE \(X=\mathbb R^3\). Diese Menge wird zusammen mit dem Vektorraum \(V_1\) zu einem affinen Raum durch die Abbildung \(X\times V_1\to X\), die einem Punkt \(x\in\mathbb R^3\) und einem Vektor/Pfeil \( v\in V_1\) den Punkt in der Menge \(\mathbb R^3\) zuordnet, den man erhält, wenn man den Pfeil \(v\) an den Punkt \(x\) anlegt.
Dieses Modell eines affinen Unterraums erlaubt uns einen Unterschied zwischen einem Vektor/Pfeil in \( \mathbb R^3\) und einem Punkt in \(\mathbb R^3\) zu machen (dieser Unterschied wird in der Schule manchmal nicht so klar herausgearbeitet). Durch Wahl eines Ursprungs \(o\) in der Menge \(\mathbb{R}^3\) bekommen wir Bijektionen zwischen \(V_1\) und \(X=\mathbb R^3\), indem wir einem Punkt \(x\) seinen Ortsvektor \( \vec{ox}\) zuordnen und indem wir einem Vektor \(v\) den Punkt \(o+v\) zuordnen.
Aufgrund dieser Bijektionen werden affine Räume meistens nicht extra eingeführt. Würde man aber versuchen das Universum mathematisch/physikalisch zu beschreiben, so würde man eher sagen es sei ein affiner Raum, da man Punkte im Raum hat und man mit einer Translation zu einem anderen Punkt kommt. Durch Wahl eines willkürlich gewählten Ursprungs daraus nun einen Vektorraum zu machen wäre hier nicht natürlich.
Man kann nun auch auf der Menge \(\mathbb R^3\) eine Vektorraumstruktur \(V_2\) durch komponentenweise Addition und skalare Multiplikation definieren. Offensichtlich ist dann \(V_2\), nach der Wahl des Ursprungs \( (0,0,0)\in \mathbb R^3\) isomorph zu \(V_1\) , da das aneinanderlegen von Pfeilen genau über komponentenweise Addition definiert ist.
Ich hoffe das beantwortet deine Fragen. Ich denke aber, du musst dir den Kopf nicht zu sehr über solche Feinheiten zerbrechen. Vorallem das Konzept mit affinen Räumen kannst du auch wieder vergessen, wenn es in deiner Vorlesung nicht explizit behandelt wird.
Student, Punkte: 1K
Der Isomorphiesatz über endliche Vektorräume liefert einem nur die Existenz eines Isomorphismuses, mir geht es aber auch darum, wie diese Abbildung explizit aussieht. Man erhält nämlich eine solche Abbildung \( V_2\to V_1\) (\(V_1\) ist der Vektorraum der Pfeilklassen) auf megenebene, wenn man einem Punkt \(x\in V_2\) dem Pfeil \( \vec{ ov}\) zuordnet, wobei \( o=(0,0,0)\). Diese Abbildung ist nach der Wahl des Ursprungs \( (0,0,0)\) in der Menge \(\mathbb R^3\) in gewisser weise natürlich, weil \( (V_1,\mathbb R^3)\) einen affinen Raum bilden.
Aber ich glaube wir verlieren uns hier zu sehr in Details. ─ anonym42 07.03.2021 um 11:23
Die Tatsache, dass man mit den Tupel komponentenweise rechnen kann, die liegt daran, dass es einen Isomorphismus zwischen den Pfeilklassen zu den Ortsvektoren gibt.
Und die Ortsvektoren kann man gewässerweise über eine bijektive Abbildung auf Punkte abbilden (und demnach auch umgekehrt).
Stimmt das? ─ handfeger0 07.03.2021 um 11:28
Umgekehrt erhält man durch zwei Punkte genau einen Pfeil, der den einen in den anderen überführt. ─ anonym42 07.03.2021 um 11:57
Im Endeffekt braucht man das aber nicht für meine Ausgangsfrage. Der affine Raum hat also nur bedingt mit dem Isomorphismus zwischen Koordinatenraum $$R^n$$ und dem Vektorraum der Pfeilklassen zu tun ? ─ handfeger0 07.03.2021 um 12:02
Zum zweiten Satz: Naja man erhält diese Abbildung zwischen dem Koordinatenraum und dem Vektorraum der Pfeilklassen genau über den affinen Raum. Für einen Punkt \( x\in \mathbb R^n \) in dem Koordinatenraum, wird ist die Abbildung gegeben durch \(x\mapsto \vec{ox}\). ─ anonym42 07.03.2021 um 12:10