Isomorphismus zwischen R^n und Pfeilklassen

Aufrufe: 822     Aktiv: 07.03.2021 um 15:23

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Liebes Forum,
wir können mit Vektoren (interpretiert als Pfeile) umgehen, wie mit Zahlentupeln im im R^n.

Dabei bedeutet z.B. eine Multiplikation eines Vektors Verlängerung um den Faktor  λ.
Jetzt ist es ja so, dass wir den "Pfeil" erhalten, indem wir 
 λ mit dem Tubel im R^n multiplizieren.

In etwa so: $$v=(x_1;x_2;x_3)^T$$ mit $$ u=
 λ(x_1;x_2;x_3)^T=(λx_1;λx_2;λx_3)^T $$ 
Wir bekommen so den Pfeil, der um den Fakor 
λ verlängert wurde.

Ähnlich können wir zwei 3-Tupel komponentenweise addieren und erhalten ein neues 3-Tupel. welche dem Pfeil entspricht, den man enthält, wenn man die beiden ursprünglichen Pfeile aneinander legt!

Das alles funktioniert ja, weil es einen Isomorphismus gibt zwischen den Vektoren als Pfeilen und den k-Tupeln... Oder?

Falls ihr mir zustimmt, wie kann man denn zeigen, dass es diesen Isoorphimus tatsächlich gibt?
Denn dieser ist ja die Voraussetzung dafür, dass man das alles überhaupt so machen darf...


Danke!


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Da der Kommentar länger geworden ist, habe ich ihn mal in eine neue Antwort gepackt:
Wir wollen uns das alles an dem drei-dimensionalen Raum anschauen. Es sei \(V_1\) der Vektorraum der Pfeilklassen (wichtig: Das sind Pfeile die im Raum liegen, wir wollen uns diese wirklich als Pfeile vorstellen und nicht als Elemente von \( \mathbb R^3\)). \(V_1\) besitzt eine Vektorraumstruktur durch skalieren der Pfeile und durch aneinanderlegen.
Nun betrachten wir die MENGE \(X=\mathbb R^3\). Diese Menge wird zusammen mit dem Vektorraum \(V_1\) zu einem affinen Raum durch die Abbildung \(X\times V_1\to X\), die einem Punkt \(x\in\mathbb R^3\) und einem Vektor/Pfeil \( v\in V_1\) den Punkt in der Menge \(\mathbb R^3\) zuordnet, den man erhält, wenn man den Pfeil \(v\) an den Punkt \(x\) anlegt.
Dieses Modell eines affinen Unterraums erlaubt uns einen Unterschied zwischen einem Vektor/Pfeil in \( \mathbb R^3\) und einem Punkt in \(\mathbb R^3\) zu machen (dieser Unterschied wird in der Schule manchmal nicht so klar herausgearbeitet). Durch Wahl eines Ursprungs \(o\) in der Menge \(\mathbb{R}^3\) bekommen wir Bijektionen zwischen \(V_1\) und \(X=\mathbb R^3\), indem wir einem Punkt \(x\) seinen Ortsvektor \( \vec{ox}\) zuordnen und indem wir einem Vektor \(v\) den Punkt \(o+v\) zuordnen.
Aufgrund dieser Bijektionen werden affine Räume meistens nicht extra eingeführt. Würde man aber versuchen das Universum mathematisch/physikalisch zu beschreiben, so würde man eher sagen es sei ein affiner Raum, da man Punkte im Raum hat und man mit einer Translation zu einem anderen Punkt kommt. Durch Wahl eines willkürlich gewählten Ursprungs daraus nun einen Vektorraum zu machen wäre hier nicht natürlich.
Man kann nun auch auf der Menge \(\mathbb R^3\) eine Vektorraumstruktur \(V_2\) durch komponentenweise Addition und skalare Multiplikation definieren. Offensichtlich ist dann \(V_2\), nach der Wahl des Ursprungs \( (0,0,0)\in \mathbb R^3\) isomorph zu \(V_1\) , da das aneinanderlegen von Pfeilen genau über komponentenweise Addition definiert ist.
Ich hoffe das beantwortet deine Fragen. Ich denke aber, du musst dir den Kopf nicht zu sehr über solche Feinheiten zerbrechen. Vorallem das Konzept mit affinen Räumen kannst du auch wieder vergessen, wenn es in deiner Vorlesung nicht explizit behandelt wird.
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\(V_2\) ist unabhängig von der Wahl des Ursprungs isomorph zu \(\mathbb{R}^3\), siehe Isomorphiesatz über endliche Vektorräume.   ─   mathejean 07.03.2021 um 09:08

Mit \(V_2\) meinte ich den üblichen Vektorraum \(\mathbb R^3\). Also als Menge ist \(V_2=\mathbb R^3\) und dann definieren wir auf \(V_2\) eine Vektoraddition und eine skalare Multiplikation komponentenweise. Ich wollte hier einen Unterschied machen zwischen der Menge \(\mathbb R^3\) und dem Vektorraum \( V_2=\mathbb R^3\).
Der Isomorphiesatz über endliche Vektorräume liefert einem nur die Existenz eines Isomorphismuses, mir geht es aber auch darum, wie diese Abbildung explizit aussieht. Man erhält nämlich eine solche Abbildung \( V_2\to V_1\) (\(V_1\) ist der Vektorraum der Pfeilklassen) auf megenebene, wenn man einem Punkt \(x\in V_2\) dem Pfeil \( \vec{ ov}\) zuordnet, wobei \( o=(0,0,0)\). Diese Abbildung ist nach der Wahl des Ursprungs \( (0,0,0)\) in der Menge \(\mathbb R^3\) in gewisser weise natürlich, weil \( (V_1,\mathbb R^3)\) einen affinen Raum bilden.
Aber ich glaube wir verlieren uns hier zu sehr in Details.
  ─   anonym42 07.03.2021 um 11:23

Ich muss jetzt nochmal nachbohren...
Die Tatsache, dass man mit den Tupel komponentenweise rechnen kann, die liegt daran, dass es einen Isomorphismus zwischen den Pfeilklassen zu den Ortsvektoren gibt.

Und die Ortsvektoren kann man gewässerweise über eine bijektive Abbildung auf Punkte abbilden (und demnach auch umgekehrt).

Stimmt das?
  ─   handfeger0 07.03.2021 um 11:28

ja genau.   ─   anonym42 07.03.2021 um 11:37

Hm. Verstehe ich irgendwie immernoch nicht 100 prozentig :( Das würde aber ja bedeuten, dass der Koordiantenraum eigentlich erstmal nur für die Ortsvektoren steht. Im Affinen Raum werden dann aber ja nicht die Ortsvektoren an Punkte addiert sondern eigentlich ja ein Repräsentant aus der Pfeilklasse ?! :(   ─   handfeger0 07.03.2021 um 11:41

Beziehungsweise "erhält man" im affinen Raum die Verschiebungsvektoren, da zwei Punkte auf den jeweiligen Verschiebungsvektor abgebildet werden, der die beiden ineinander überführt.   ─   handfeger0 07.03.2021 um 11:47

Im affinen Raum hat man einen Punkt, dargestellt durch einen Ortsvektor (nach Wahl eines Urpsprungs) und und man addieret mit einem Pfeil, indem man den Repräsentanten aus der Pfeilkalsse wählt, der in dem Punkt des Ortsvektors beginnt. Und durch dieses aneinanderlegen erhält man wieder einen Punkt/Ortsvektor.
Umgekehrt erhält man durch zwei Punkte genau einen Pfeil, der den einen in den anderen überführt.
  ─   anonym42 07.03.2021 um 11:57

Aber ich denke wir verlieren uns hier wirklich in Details, die am Ende gar nicht so relevant sind,   ─   anonym42 07.03.2021 um 11:59

Sprich: Im affinen Raum gelingt der Unterschied zwischen Ortsvektor (den man auch als Punkt auffassen kann) und Pfeilklasse.

Im Endeffekt braucht man das aber nicht für meine Ausgangsfrage. Der affine Raum hat also nur bedingt mit dem Isomorphismus zwischen Koordinatenraum $$R^n$$ und dem Vektorraum der Pfeilklassen zu tun ?
  ─   handfeger0 07.03.2021 um 12:02

"Sprich: Im affinen Raum gelingt der Unterschied zwischen Ortsvektor (den man auch als Punkt auffassen kann) und Pfeilklasse." --> Genau.

Zum zweiten Satz: Naja man erhält diese Abbildung zwischen dem Koordinatenraum und dem Vektorraum der Pfeilklassen genau über den affinen Raum. Für einen Punkt \( x\in \mathbb R^n \) in dem Koordinatenraum, wird ist die Abbildung gegeben durch \(x\mapsto \vec{ox}\).
  ─   anonym42 07.03.2021 um 12:10

Und von dem Ortsvektor komme ich jetzt über einen Isomorphismus zu den Pfeilklassen?   ─   handfeger0 07.03.2021 um 12:42

Ein Ortsvektor ist ein Repräsentant aus einer Pfeilklasse.   ─   anonym42 07.03.2021 um 12:47

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Sprich, die Abbildung aus deinem Beitrag zuvor ist der ominöse Isomorphismus?   ─   handfeger0 07.03.2021 um 12:56

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Demnach ist x --> ox linear und bijektiv.   ─   handfeger0 07.03.2021 um 13:07

ja genau.   ─   anonym42 07.03.2021 um 13:13

Hammer! Tausend Dank! Endlich mal ein Forum, in welchem man geholfen bekommt, bis man es wirklich verstanden hat :)   ─   handfeger0 07.03.2021 um 14:10

Gern geschehen.   ─   anonym42 07.03.2021 um 15:23

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Ich kenne zwar jetzt keine formale Definition für Pfeile, aber hier könntest du als Isomorphismus einfach komponentenweise die Identitätsabbildung verwenden. Ich kenne die Interpretation von Vektoren als Pfeile nur zur besseren Veranschaulichung des Konzeptes, ohne formalen Hintergrund. Später wirst du aber, auch formal, lernen, die Vektoren als Koordinaten der Basisvektoren zu interpretieren.
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Also wie man für die Zahlentupel aus dem R^n zeigt, dass sie ein R-Vektorraum sind ist mir klar.

Und dass man damit auch in der Zeichenebene oder im Zeichenraum rechnen kann auch. ABER WIESO?
Müsste man nicht eigentlich nachweisen, dass die Addition zweier Tupel immer auch das hintereinanderlegen zweier Pfeile ist (z.b)
  ─   handfeger0 06.03.2021 um 10:01

Das die Addition so funktioniert, kann man nicht beweisen, da es die jeweilige Definition der Verknüpfung ist. Das diese Verknüpfung jedoch isomorph ist, kann man wie ich oben beschrieben habe sehr einfach zeigen.   ─   mathejean 06.03.2021 um 10:34

Könntest du auf deine Beschreibenung des Nachweises nochmal etwas genauer eingehen? Verstehe das nicht   ─   handfeger0 06.03.2021 um 10:37

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Du bildest einfach einen Pfeil \(p =(p_1,\dots,p_n)\) auf einen Vektor \(v=(v_1,\dots,v_n)\) komponentenweise ab, d.h. \(p_k \mapsto v_k\). Nun musst du nur noch zeigen, dass diese Abbildung linear und bijektiv ist.   ─   mathejean 06.03.2021 um 10:47

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Die formale Definition deiner Beschreibung läuft unter dem Begriff affiner Raum ( https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space ).

Allgemein ist ein affiner Raum ist eine Menge \(X\) zusammen mit einem Vektorraum \(V\) und einer Abbildung \(X\times V\to X\), geschrieben \((x,v)\mapsto x+v\), mit folgenden Eigenschaften:
(a) Für alle \(x\in X\) und \(u,v\in V\) gilt \( x+(u+v)=(x+u)+v\) .
(b) Fur beliebige \(x,y\in X\) gibt es genau ein \( v\in V\), so dass \(x+v=y\). (Man bezeichnet \(v\) mit \(\vec{xy}\).)
Die durch ein Element \(v\in V\) gegebene Abbildung \(X \to X\), \(x\mapsto x+v\), nennt man Translation.

Hier beschreiben die Elemente von \(X\) genau die Punkte im Raum und die Elemente von \( V\) die Vektoren (bzw. Pfeile). Wahlt man einen Punkt \(o\) von \(X\) als so genannten Ursprung, dann ist die durch \(x\mapsto o+v\) gegebene Abbildung \(V\to X\) bijektiv. Die Umkehrabbildung ordnet jedem Punkt \(x\) seinen Ortsvektor \(\vec{ox}\) zu.
Das ist genau der Isomorphismus, den du in deiner Frage beschrieben hast (dieser hängt aber vom gewählten Ursprung \(o\) ab).
Da man mit einem affinen Raum eigentlich (bis auf Isomorphie) das gleiche Objekt beschreibt, wie mit dem Begriff eines Vektorraums, wird diese formale Unterscheidung häufig weggelassen.

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Müsste im letzten Satz des zweiten Absatzes die Abbildung nicht von X x V --> X gehen?   ─   handfeger0 06.03.2021 um 12:16

Meinst du diesen Satz: Die durch ein Element \(v\in V\) gegebene Abbildung \(X\to X\), \(x\mapsto x+v\), nennt man Translation.
Man betrachtet hier einen festen Vektor/Pfeil \( v\in V\) und betrachtet jetzt nur die Abbildung, die einem Punkt \(x\in X\) den Punkt \( x+v\in X\) zuordnet. Das ist eine Abbildung \( X\to X\), da \( v\in V\) fest ist. Die Abbildungsvorschrift hängt natürlich von \( v\) ab, weswegen man der Abbildung vielleicht die Bezeichnung \( T_v \colon X\to X\) geben würde.
  ─   anonym42 06.03.2021 um 12:51

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Umso länger ich darüber nachdenke, umso eher denke ich, dass ich meine Frage falsch formuliert habe:

Eigentlich benötige ich doch einen Isomorphismus zwischen dem Koordinatenraum R^n und dem Vektorraum der Verschiebungen (Pfeile).
Oder?
  ─   handfeger0 06.03.2021 um 13:58

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Ja, das würde mehr Sinn ergeben. Deshalb konnte ich meine Antwort auch nicht konkretisieren, da ich formal nicht wusste, was genau deine Grundlage ist. Was Anonymus hier aber geschrieben hat sollte dein Problem gut abdecken.   ─   mathejean 06.03.2021 um 14:03

@handfeger0 ja genau. Der Koordinatenraum \( \mathbb R^n\) ist die Menge \(X\) und die Menge der Pfeilklassen ist der Vektorraum \(V\).   ─   anonym42 06.03.2021 um 14:14

Und zwischen diesen beiden Räumen existiert ein Isomorphismus ?   ─   handfeger0 06.03.2021 um 16:18

Das folgt unmittelbar aus dem Isomorphiesatz für endlich dimensionale Vektorräume.   ─   mathejean 06.03.2021 um 16:27

Hm. Und wie addiere ich anschaulich zwei Punkte? Komponentenweise ja nur mit den Tupeln oder ?   ─   handfeger0 06.03.2021 um 17:28

Beziehungsweise ist die Addition und die Multiplikation im Koordinatenraum ja gerade komponentenweise definiert!

Wofür benötigt man denn dann den sogenannten "affinen" Raum ?
  ─   handfeger0 06.03.2021 um 17:55

Vielleicht bisschen amateurhaft, aber ist das hier nicht genau das, was ich gefragt habe eingangs?

Diese Identifizierung endlichdimensionaler Vektorräume mit dem zugehörigen Koordinatenraum erklärt auch den Namen „Standardraum“.[2] Dennoch arbeitet man in der linearen Algebra häufig lieber mit abstrakten Vektorräumen statt mit Koordinatenräumen, da man in der Theorie gerne koordinatenfrei, das heißt ohne eine besonders ausgewählte Basis, argumentieren möchte. Für konkrete Berechnungen greift man dann wieder auf den Koordinatenraum zurück und rechnet mit den Koordinatenvektoren.
  ─   handfeger0 06.03.2021 um 17:56

Eine finale Frage habe ich allerdings noch:
Angenommen $$V_1$$ sei der Vektorraum der Pfeile in der euklidischen Ebene.
$$V_2$$ sei der Koordinatenraum $$R^2$$.

Da es einen Isomorphismus gibt zwischen den beiden Vektorräumen, kann man z.b. eine Addition in $$V_2$$ durchführen, bekommt dann einen neuen Vektor. Diesen kann ich dann wieder als Pfeil in der euklidischen Ebene interpretieren.

Sprich der Vorteil der Existenz des dieses Isomorphismus liegt darin, dass ich um den neuen Vektor der Summe herauszubekommen nicht grafisch die beiden Pfeile aneinander legen muss, sonder einfach die Koordinaten komponentenweise addieren kann.

Ist das so korrekt?

Tausend Dank, ihr seid die Besten!!!
  ─   handfeger0 06.03.2021 um 19:20

So vom Prinzip ist das ganz richtig. Diese Erkenntniss lässt sich jedoch auf alle endlich dimensionalen Vektorräume ausweiten. So kannst du zu jedem "komplizierten" Vektorraum der Dimension \(n\) einen Isomorphismus zum "einfachen" \(\mathbb{K}^n\) finden.   ─   mathejean 06.03.2021 um 19:38

Genau. Das ist korrekt.
Wie genau die Definition eines affinen Raumes dort mit reinkommt, kann ich vielleicht später nochmal genauer aufschreiben. Ich habe gerade nicht so viel Zeit.
  ─   anonym42 06.03.2021 um 19:46

Das wäre lieb! Warte dann darauf :)!   ─   handfeger0 06.03.2021 um 21:05

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