Anwendung der Kettenregel und Produktregel

Aufrufe: 122     Aktiv: 22.06.2021 um 19:21

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Bei folgender Aufgabe soll mittels o. g. Ableitungs Regeln beginnend mit der Kettenregel das dritte Taylorpolynom mit Restglied Abschätzung bestimmt werden mittels der Funktion f:[-1,1]nach R definiert durch x nach e^e^x. Da lch bei diesen Ableitungsregeln noch nicht fit bin, komme ich damit im Moment nicht weiter.
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\(f'(x)=(e^{e^x})'=(e^x)'\cdot e^{e^x}=e^x\cdot e^{e^x}=e^{e^x+x}\)
\(f''(x)=(e^x+1)e^{e^x+x}\)
\(f'''(x)=e^{e^x+2x}+(e^x+1)^2e^{e^x+x}\)
\(T_{3,f}(x,0)=f(0)+\frac{f'(0)x}{1}+\frac{f''(0)x}{2}+\frac{f'''(0)x}{6}=e+ex+\frac{2ex^2}{2}+\frac{5ex^3}{6}\)
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Sie scheinen "Hellseherische" Fähigkeiten zu haben. Vielen Dank   ─   atideva 22.06.2021 um 19:21

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Meinst Du die Funktion \( y=e^{e^x} \)? Das geht mit keiner der beiden Regeln ohne Weiteres, sondern das verlangt "logarithmisches Differenzieren". Man logarithmiert und findet \(\ln y = \ln e^{e^x} = e^x \), und jetzt kann man mittel der beiden besagten Regeln weiterrechnen. Beachte, dass die Ableitung der rechten Seite \(y'/y \) ist. Schau' auch in die Lernplaylist Differenzialrechnung!
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Die Lösung sieht wohl so aus f(x) =e^e^x, f'(x) =e^x e^e^x, f"(x) =e^e^x e^x(1+e^x),f"'(x)=e^e^x e^x(1+e^x)^2 +e^e^x e^x e^x, also f(0)=e,f'(0)=e,f"(0)=2e,f"'(0)=5e. Damit ist P3,0(x)=e+ex+ex^2 +5e/6x^3. Dann kommt die Abschätzung   ─   atideva 21.06.2021 um 20:55

Danke für Ihre Bemühungen. Was die Aufgabe angeht, so liegt hier möglicherweise ein Missverständnis vor, wie gesagt moeglicherweise. Also die Funktion ist auf R definiert eben durch x nach e^e^x. Mir wurde jetzt durch Mails von der fernuni auch die Antworten gegeben. Das hat allerdings etwas gedauert, im Präsenzbereich wäre dass schneller gegangen und mittlerweile habe ich es auch begriffen. Eine Bemerkung noch, Sie schreiben mit Fragezeichen y=e^e^x. Wenn ich schreibe x nach e^e^x, dann müsste dass doch dasselbe sein wie x und dann kommt ein waagerechter Pfeil, am rechten Endedas Pfeil Ende und links ein senkrechter Abschluss. Das ist dann ja dasselbe wie f(x) = x usw. bzw. y=x usw.   ─   atideva 22.06.2021 um 17:14

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