Au Scheiße... das ist nicht so leicht:

Dazu brauchst du die Regel von l'hospital:

1. Schritt) Beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

\( lim (x \rightarrow 1) ~ \frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1} \)

Wenn du jetzt aber den Grenzwert ausführst (1 einsetzt) dann steht da \( \frac{0}{0} \). Dies ist keine Lösung.

2. Schritt) Satz vom l'hospital:

Ein Grenzwert bleibt erhalten, wenn man den Zähler und den Nenner ableitet.
Also:

\( lim (x \rightarrow a) \frac{f(x)}{g(x)} = lim (x \rightarrow a) \frac{f'(x)}{g'(x)} \)

3. Schritt) Du musst die Regel sogar zweimal durchführen, erst dann lässt sich der Grenzwert erkennen.
Also zwei mal anwenden und Zähler und Nenner zweimal ableiten.

\( lim (x \rightarrow 1) ~ \frac{-6x}{12x^2-6x} \)

Jetzt kannst du den Grenzwert ausführen und dann steht da: \( \frac{-6}{6} = -1 \) und das stimmt auch!

Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

Viele Grüße,

Max Metelmann


P.S. Wenn du magst, dann findest du bei YouTube meinen Kanal "Physik mit c". Dort gibt es eine Fülle
an Experimentiervideos. Die machen auch Freude :-)

Alternativ kann man L'Hospital auch umgehen, indem man die Brüche auf einen Hauptnenner bringt und dann Zähler und Nenner mit Polynomdivision jeweils durch \( 1-x\) teilt (das muss man dann zweimal machen).