Exponentialfunktion folgenstetig

Aufrufe: 191     Aktiv: 04.12.2021 um 13:36

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Wie zeige ich, dass die Exponentialfunktion auf C folgenstetig ist?

Ich weiß, dass exp(z)= reihe z^k/k! ist

ich weiß aber nicht, wie ich jetzt mit dem epsilon und delta Kriterium zeigen soll, dass diese felgenstetig ist

EDIT vom 03.12.2021 um 23:49:

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EDIT vom 04.12.2021 um 09:32:

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EDIT vom 04.12.2021 um 12:55:

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Student, Punkte: 115

 
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Zeige zunächst, dass \(\exp\) in \(x=0\) stetig ist, wähle dazu eine Nullfolge \((x_n)_n\). Es ist dann \(|x_n|<1\) für fast alle \(n \in \mathbb{N}\). Was folgt dann für \(|\exp(x_n)-1|\)? Anschließend wähle \(z \in \mathbb{C}\) und \((z_n)_n\) mit \(\lim z_n =z\). Es ist dann \((a_n)_n := (z_n-z)_n\) eine Nullfolge und es gilt: $$\exp(z_n)=\exp(a_n +z)=\exp(a_n)\cdot \exp(z)$$Versuche das jetzt mit der Stetigkeit in \(x=0\) zu kombinieren.
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Student, Punkte: 6.02K

 

Kannst du mir vielleicht nochmal erklären wie ich auf das rot unterstrichene im Bild komme   ─   anonymf76f7 03.12.2021 um 23:50

Habt ihr bereits gezeigt, dass \(\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)\) gilt, dass sollte über Cauchyprodukte möglich sein   ─   mathejean 04.12.2021 um 09:05

Ja das ist mir klar ich meine wie man von exp(zn) = exp(an-z) kommt   ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 09:08

Und stimmt der Schritt darüber den ich gemacht habe?   ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 09:09

Das ist einfach eine Äquivalenzumformung: von \(a_n =z_n -z \Leftrightarrow z_n =a_n +z\)   ─   mathejean 04.12.2021 um 09:12

@anonymf egal ob deine Schritte richtig oder falsch sind, sie bringen dir nichts. Ich wollte darauf hinaus, dass du zeigst, dass \((\exp(x_n)-1)_n\) eine Nullfolge ist, hierzu eine kleine Skizze: Für fast alle \(n \in \mathbb{N}\) $$|\exp(x_n)-1|=| \sum_{k=1}^{\infty} \frac {x_n^k}{k!}|\leq 2|x_n|$$Hieraus kannst du jetzt ganz einfach zeigen, dass \(\lim \exp(x_n)=\exp(0)=1\) gilt, das verwendest du dann auch im zweiten Fall   ─   mathejean 04.12.2021 um 09:19

Kann man das auch wie oben machen?   ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 09:33

Weil ich weiß nicht genau wie ich das sonst mit der Nullfolge zeigen soll   ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 09:38

Es geht viel einfacher: Für fast alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt \(|\exp(x_n)-1|\leq 2|x_n|\to 0\), da \((x_n)_n\) eine Nullfolge ist. Nach Sandwitchlemma ist \((\exp(x_n)-1)_n\) also eine Nullfolge, woraus \(\lim \exp (x_n)=1\) folgt.   ─   mathejean 04.12.2021 um 10:02

aber irgendwie ergibt es für mich vom kopf her keinen Sinn, dass exp(xn) --> 0
wenn man doch
e^1=e
e^1/2 =1,648...
...
e^0=1

in diesem Bereich würde es sich doch bewegen oder nicht?

  ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 10:21

Es ist auch die Rede davon, dass \(e^x-1\) gegen 0 geht! Und um dies zu zeigen, kann man \((\exp(x_n)-1)_n\) mit \((2|x_n|)_n\) majoranisieren   ─   mathejean 04.12.2021 um 10:34

ok danke!!!

dann zu dem anderen.
a_n:= (z_n-z) lim z_n -->z lim z -->z
also lim a_n -->0
und somit lim e(a_n) * e(z) -->0
  ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 10:56

Fast, nach dem ersten Teil geht \(\exp(a_n)\) ja gegen \(1\)   ─   mathejean 04.12.2021 um 11:48

also folgt
lim exp(a_n) =1
lim exp(z_n)= z
lim exp(z) =z

Also:
lim exp(an+z)= z?
  ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 12:12

Nein, \(\lim \exp(z)=\exp(z)\), dann hast du es aber!   ─   mathejean 04.12.2021 um 12:34

lim exp(a_n) * lim exp(z)
=exp(z)

und das zeigt dann, dass es folgenstetig ist?
  ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 12:42

Genau, denn du hast jetzt insgesamt \(\lim \exp(z_n)=\exp(z)\), versuche das ruhig mal in einer Gleichungskette aufzuschreiben   ─   mathejean 04.12.2021 um 12:44

Ich weiß leider nicht genau, was du meinst. Aber ich habe gerade ein Bild von dem Beweis hochgeladen ist das so richtig?   ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 12:55

Du verwechselt an einigen Stellen Äquivalenzpfeile mit Gleichheitszeichen. Es ist insgesamt $$\lim \exp(z_n)=\lim \exp(a_n+z)=\lim \exp(a_n)\cdot \exp(z)=1\cdot \exp(z)=\exp(z)$$   ─   mathejean 04.12.2021 um 13:10

ah ok gut DANKE!!!!   ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 13:12

und weil man exp(z) raus hat ist es folgenstetitg?   ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 13:13

Ja!   ─   mathejean 04.12.2021 um 13:34

Dankeschööööööön!!!!   ─   anonymf76f7 04.12.2021 um 13:36

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