Wie untersuche ich das Verhalten einer Funktion gegen x -> +/- unendlich?

Aufrufe: 579     Aktiv: 30.12.2020 um 20:02
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Hallo, alle zusammen.

Die Funktion lautet:

 \frac {x^{3} − x^{2} − 2x} {x^{2} − 1}

Eine Aufgabe die ich zu bearbeiten versuche lautet, dass ich das Verhalten der Funktion gegen x -> +/- unendlich untersuchen soll.

Ich weiß, dass der Zählergrad größer als der Nennergrad ist. Daraus folgt, dass Zähler/Nenner < 0 sein muss. Ich weiß jedoch nicht, wie ich das nachweisen kann, also welche Schritte ich da vornehmen muss um zu diesem Ergebnis zu kommen.

Darüber hinaus soll ich noch überprüfen, ob ein asymptotisch lineares oder quadratisches Wachstum vorliegt. Wie bestimmt man sowas?

Danke schon mal im Voraus!

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Bei Aufgaben dieses Typs kann man immer folgendermaßen vorgehen: Höchste Potenz im Zähler und Nenner ausklammern und kürzen. Dann sieht man für x-> unendlich: Ist die Nennerpotenz größer als die Zählerpotenz, so geht der Ausdruck gegen Unendlich; im umgekehrten Fall gegen Null. Interessant ist nur, wenn die Potenzen gleich sind. Da nach dem Kürzen im Bruch nur noch Konstanten und Terme stehen, die gegen null gehen, ist der Quotient der Konstanten der Grenzwert. Im obigen Fall liegt der 1. Fall vor, also ist der Grenzwert Unendlich.

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