Beweisaufgabe Rationale Zahlen

Aufrufe: 352     Aktiv: 23.10.2021 um 16:44

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Ich verzweifel ein wenig an dieser Aufgabe, ich bitte um Hilfe ^^

Die Aufgabenstellung ist: Zeigen Sie, falls a Element R, der Form a = x + y * sqrt(2) : x,y Element Q, dass x und y durch a eindeutig festgelegt sind. Also wenn a =  x' + y' * sqrt(2) => x = x' und y = y'

Meine Beweisidee ist anzunehmen, dass x und y nicht eindeutig  durch a bestimmt werden und dies auf einen Widerspruch hinaus zu führen. Jedoch drehe ich mich nur im Kreis.

Ansatz:   x + y * sqrt(2) =  x' + y' * sqrt(2) | x ungleich x' und y ungleich y'

Könnte mir Jemand einen Denkanstoß geben?

Mit freundlichen Grüßen
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Student, Punkte: 42

 
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Dein Ansatz ist doch gut, nun rechne weiter (zusammenfassen, ausklammern). Dann beachte, dass x,y,x',y' in Q sind, und sqrt(2) nicht in Q ist.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

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Meine erste Idee wäre, das über lineare Unabhängigkeit zu probieren, also $1$ und $\sqrt{2}$ als Basisvektoren eines $\mathbb{Q}$-Vektorraums aufzufassen.
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