Zahlenfolge Beweis Grenzwert

Erste Frage Aufrufe: 103     Aktiv: 26.04.2022 um 22:35

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Hallo,

gegeben ist eine konvergente reelle Zahlenfolge bn mit n€N und bn >= 0 für jedes n€N.
Ausserdem ist b:= lim n->oo bn.
Damit soll das hier bewiesen werden:

lim n-> oo Wurzel(bn) = Wurzel(b)

Wie ist die Herangehenweise bei so einem Beweis?
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1 Antwort
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Wegen \(\lim b_n=b\) existiert nach Definition zu \(\varepsilon \in \mathbb{R}^+\) ein \(N \in \mathbb{N}\), so dass \(|b_n-b|<\varepsilon\) für alle \(n\geq N\). Du musst jetzt zeigen, dass ein \(\tilde{N}\in \mathbb{N}\) existiert, so dass \(|\sqrt{b_n}-\sqrt{b}|<\varepsilon \) für alle \(n\geq \tilde{N}\) gilt. Fang also bei \(|\sqrt{b_n}-\sqrt{b}\|\) an nutze vielleicht binomische Formel und mache ein bisschen Abschätzung. Probier einfach mal aus und wir schauen wie weit du kommst.
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Student, Punkte: 8.15K

 

Ich verstehe leider nicht ganz. Die Folge bn läuft ja gegen den Grenzwert b, aber wie zeige ich jetzt, dass die Wurzel(bn) auch gegen Wurzel(b) läuft? Wie ist der Ansatz?   ─   nutzer123 26.04.2022 um 21:29

Der Ansatz ist es den Abstand zwischen der neuen Folge und dem neuen Grenzwert mit einer Nullfolge zu majoranisieren, hierbei darfst du verwenden, dass \((|b_n-b|)_n\) eine Nullfolge ist. Hast du schonmal einen Konvergenzbeweis mit der Definition gemacht?   ─   mathejean 26.04.2022 um 21:34

Nein   ─   nutzer123 26.04.2022 um 21:40

Okay, vielleicht machst du erst eine einfachere Aufgabe zu dem Thema   ─   mathejean 26.04.2022 um 21:46

Ok, danke   ─   nutzer123 26.04.2022 um 22:01

@nutzer123 ist dir eine bestimmte Wurzelungleichung bekannt, womit du den Tipp von mathejean ganz schnell umsetzen kannst?   ─   maqu 26.04.2022 um 22:35

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