Zeigen Sie, dass ∂A und A^- kompakt sind

Aufrufe: 92     Aktiv: 19.05.2021 um 11:45

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Sei A ⊆ R n beschränkt. Zeigen Sie, dass ∂A und A^- kompakt sind.
Mein Ansatz wäre mit dem Satz von Heine Borel zu arbeiten. ∂A ist nach Definition abgeschlossen und A ist beschränkt -> kompakt und wie sieht das mit A^- aus
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1 Antwort
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Hallo,

der Abschluss ist nach Definition abgeschlossen. Beim Rand beweist man das meistens noch. Aber es gilt auch allgemein für den Rand. 

Wir müssen also in beiden Fällen nur die Beschränktheit zeigen. 

Einfach zu sagen das wenn \( A \) beschränkt ist, es auch der Rand ist reicht nicht aus. Außer ihr habt das auch schon irgendwo bewiesen. Ich denke aber nicht, denn sonst wäre die Aufgabe trivial. 

Zeigen wir also, dass der Rand beschränkt ist. Wie habt ihr den Rand definiert? 

Das dann der Abschluss auch beschränkt ist, lässt sich dann sofort aus der Beschränktheit von A und dem Rand zeigen. 

Grüße Christian

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Ein Punkt x ∈ X heißt Randpunkt von Y , wenn in jeder Umgebung von x sowohl ein
Punkt von Y also auch ein Punkt von X \ Y liegt
  ─   huyd903 19.05.2021 um 10:50

Ok. Sei nun \( x \in \partial A \) ein Randpunkt und \( a \in A \). Wir wollen zeigen, dass es ein \( m \in \mathbb{R} \) gibt, mit \( |x| < m \).
Jetzt haben wir alle Grundlagen.

Wie du schon richtig sagst, bedeutet Randpunkt, dass in jeder Umgebung ein Punkt aus \( A \) liegt. Auch aus \( X \backslash A \) aber das ist für uns gerade nicht wichtig.
Überlege dir die nächsten Schritte mal mit offenen Bällen, denn in jeder Umgebung findest du einen offenen Ball. Wenn ein \( a \in A \) in einem \( \varepsilon\)-Ball von \( x \in \partial A \) liegt, was können wir für eine Information zwischen \( x \) und \( a \) gewinnen?
  ─   christian_strack 19.05.2021 um 11:45

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